Boa noite!
Essa questão tirei de uma olimpíada que houve no EUA em 1974, e é bem desafiante! Envolve um bom conhecimento de álgebra e porque não, criatividade? Veja:
"Sejam a, b, c três inteiros distintos e P(x) um polinômio com coeficientes inteiros. Mostre que é impossível termos P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a."
Tentem resolvê-la e caso consigam mandem a resposta via comentários.
Abraço a todos!
3 comentários:
"Sejam a, b, c três inteiros distintos e P(x) um polinômio com coeficientes inteiros. Mostre que é impossível termos P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a."
Com um Polinomio de coeficientes inteiros, temos:
x-y|P(x)-P(y) (Com x e y inteiros)
[Fácil ver isso, fazendo P(x)-P(y), pois o termo independente corta, e é possível colocar a-b em evidencia]
Suponha que seja possível P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a, Com a, b e c diferentes entre si.
temos:
a-b|b-c
b-c|c-a
c-a|a-b
Se x|y então x é menor ou igual a y
Com isso:
a-b<=b-c<=c-a<=a-b
Só vale se a-b=b-c=c-a
a-b=b-c
2b=a+c (i)
b-c = c-a
2c=b+a (ii)
Subtraindo (i) e (ii)
2b-2c = b-c
b=c O que é absurdo, pois supus que eles são diferentes entre si.
Então não é possível construir tal polinomio.
Ah, ainda to esperando a solução por indução daquela outra de divisibilidade. :)
Muito bom seu blog, bons desafios.
Regras de Derivação:
http://www.youtube.com/watch?v=_IYtPK87EMw
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