CIRCUNFERÊNCIA, CÔNICAS E GEOMETRIA ANALÍTICA.

Neste artigo abordaremos a definição e as equações analíticas da circunferência, da elipse e da hipérbole, bem como algumas aplicações dos mesmos em exercícios.

1.0   DEFINIÇÃO GERAL.

Em geometria, as cônicas são as curvas geradas na intersecção de um plano que atravessa um cone (daí o nome). Numa superfície em forma de cone, existem quatro tipos de intersecção que podem ser obtidos por esse processo e que resultam na:

1) Elipse: a cônica obtida através da interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone obliquamente à base do mesmo;

2) Parábola: é a cônica também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone e também a circunferência da base;

3) Hipérbole: é a cônica definida na interseção de um plano que penetra um cone paralelo ao seu eixo;

4) Circunferência, que é obtida através da intersecção de um plano que seja paralelo à base do cone.

fig.01: as cônicas; em A temos a parábola, em B na parte de baixo temos  a  circunferência e na parte de cima  a elipse e em C temos a hipérbole. Fonte: wikipédia.

2.0   A CIRCUNFERÊNCIA.

2.1   DEFINIÇÃO E EQUAÇÕES.

Geometricamente, a circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão a uma igual distância de um ponto central, sendo que essa distância é chamada de raio, que aqui designaremos pela letra 'r'; analiticamente falando, a circunferência é o lugar geométrico dos pontos que tem distância fixa de um determinado ponto P:

Sendo assim, se considerarmos um plano xOy, e um ponto C (Xo, Yo) que será o centro da circunferência, basta considerarmos um ponto genérico P (X, Y) e usarmos a definição dada para encontrarmos a equação analítica da circunferência:

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

 (*)

A equação encontrada em (*) é a chamada equação reduzida da circunferência. Se resolvermos os quadrados dos binômios e passarmos 'r' para o segundo membro, teremos:

 (**)

Essa equação encontrada em (**) é a conhecida como equação geral da circunferência.
Feita essa definição, vamos fazer agora uma revisão útil para solucionarmos determinados problemas envolvendo circunferências.


2.2   POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA


2.2.1    INTERNO OU INTERIOR


Significa que a distância do ponto considerado até o centro da circunferência é menor que o raio dessa circunferência, ou seja, se A(X1, Y1) é um ponto interno da circunferência, e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência, temos que:

2.2.2    EXTERNO OU EXTERIOR


Significa que a distância entre o ponto considerado até o centro da circunferência é maior que o raio dessa circunferência, e, do mesmo modo, se A(X1, Y1) é o ponto considerado e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência:

2.2.3   PERTENCENTE À CIRCUNFERÊNCIA

É quando o ponto fica exatamente sobre a circunferência, ou seja, a sua distância até o centro é igual ao raio dessa circunferência; sendo assim,  se A(X1, Y1) é o ponto considerado e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência:

Abaixo temos um esquema das três situações colocadas acima esboçadas em um gráfico:

fig. 02:  o ponto vermelho é um ponto exterior, o ponto azul é um ponto interior e o ponto verde é um ponto pertencente à circunferência

2.3   RETAS E CIRCUNFERÊNCIA


Iremos ver agora as posições relativas entre uma reta e uma circunferência, lembrando que a distância entre uma reta de equação AX + BY + C = 0 e um ponto P(Xo, Yo) é dada por:

2.3.1  EXTERNA


É a reta que não cruza com a circunferência em nenhum ponto, ou seja, ela não tem pontos em comum com a circunferência; sendo assim, a distância dessa reta até a circunferência, em outras palavras, se 'd' é a distância do centro dessa circunferência até a reta dada e 'r' é seu raio, temos que:
                                                      d > r

2.3.2    SECANTE


É a reta que cruza, secciona a circunferência, sendo assim, a reta secante tem dois pontos em comum com a circunferência, portanto, a distância do seu centro até a reta tem que ser menor que seu raio:
                                                      d < r
Obs: da geometria plana, a reta suporte que contém o raio da circunferência dada e que passa pelo ponto médio determinado pela corda determinada pela reta secante é perpendicular a essa reta secante.


2.3.3   TANGENTE


É  a reta que toca a circunferência em apenas um ponto, tendo como consequência que essa reta terá apenas um ponto em comum com essa circunferência, e logo, a distância da reta até seu centro é igual ao próprio raio da circunferência:
                                                      d = r
Obs: da geometria plana, qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular à reta suporte que contém o raio da mesma e que passa pelo ponto de tangência.


Abaixo temos uma visualização geométrica das três posições relativas entre a reta e a circunferência:

fig. 03: a reta vermelha é externa, a reta azul é uma secante e a reta verde é uma tangente.

2.3.4    DETERMINAÇÃO DOS PONTOS EM COMUM ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA


Para determinarmos os pontos em comum entre uma reta de equação PX + QY + K = 0 e uma circunferência de equação X² + Y² + AX + BY + C = 0, é só resolver o sistema de equações formado entre elas, que é de 2º grau, observando que:

• r é secante: Δ > 0 ;

• r é tangente: Δ = 0 ;

• r é exterior: Δ < 0 .

2.4 DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Para essa parte, denotaremos por 'C1' e 'C2' os centros das duas circunferências, 'd' a distância entre seus centros, e 'R1' e 'R2' os seus raios


2.4.1   CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES


É quando duas circunferências possuem dois pontos em comum, ou seja, possuem dois pontos em comum:

fig. 03

Para duas circunferências serem secantes, é necessário que |R1 - R2| < d < R1 + R2, e veja também que o segmento de reta AB é perpendicular à reta suporte que contém a distância entre C1 e C2.


2.4.2   CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERNAS


É quando duas circunferências possuem um ponto em comum e estão externas uma em relação a outra:

fig. 04

E para a situação acima acontecer, deve-se ter d = R1 + R2.


2.4.3   CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERNAS


Acontece quando duas circunferências tem um ponto em comum e são internas uma em relação a outra:

fig. 05

Para tal situação acontecer, devemos ter d = |R1 - R2|


2.4.4  CIRCUNFERÊNCIAS EXTERNAS


É a situação na qual duas circunferências não tem pontos em comum:

fig. 06

Veja que d > R1 + R2.


2.4.5   CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS


É a situação na qual duas circunferências não tem pontos em comum e uma localiza-se internamente a outra:

fig. 07

Para isso, devemos ter d < |R1 - R2|.


2.4.6   CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS.


É um caso especial de circunferências internas no qual d = 0, ou seja, as circunferências tem o centro em comum:

fig. 08

3.0   A ELIPSE

A elipse é o nome dado ao lugar geométrico dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de qualquer ponto desse lugar geométrico a dois pontos fixos, chamados focos, é constante e igual a 2a.

Abaixo listaremos seus principais elementos:

fig. 08

• Centro: o ponto (Xo, Yo)
• Eixo maior: o segmento AD = 2a
• Eixo menor: o segmento BC = 2b
• Distância focal: a distância entre os focos Fi e F2 = 2c
• Relação notável: a² = b² + c²
• Excentricidade: a razão entre 'c' e 'a' -> e = c/a. Se 'e' tende a zero, a elipse tende a ser menos achatada e se parecerá com uma circunferência; se 'e' tende a um, a elipse será bem achatada. 

Agora, vamos achar a equação de uma elipse com centro na origem O(0,0) e eixo maior paralelo ao eixo das abscissas:

fig. 09

Se a elipse tiver centro no ponto C(Xo, Yo), a equação será:

OBS. 01: Repare que se a = b, caímos na equação de uma circunferência:(X – Xo)² + (Y – Yo)² = r²

assim, concluímos que toda circunferência é um caso particular de uma elipse.
OBS. 02: Se a elipse tiver seu eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas, sua equação será:

Dica sobre elipses!!!


• Para identificar se o eixo focal da elipse é paralelo ao eixo Ox ou Oy, basta olhar para a equação. Se
a²  estiver embaixo do termo x, ela terá seu eixo maior paralelo ao eixo Ox. Se o a² estiver embaixo do termo y, a elipse tem eixo maior paralelo ao eixo Oy.

4.0   HIPÉRBOLE.

4.1   DEFINIÇÃO:

Dados dois pontos distintos F1 e F2, tais que a distância entre eles seja constante e igual a 2c, e uma certa distância 2a, tal que 2a < 2c. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P de um plano tais que |d(PF1) - d(PF2)| = 2a:

fig. 10

4.2   ELEMENTOS:

fig. 11

• Centro: ponto médio de F1 e F2;
• Focos: F1 e F2;
• Eixo real: A1A2;
• Pontos de intersecção de F1F2 com A1A2: A1 e A2;
• Segmento focal: F1F2
• Eixo imaginário: B1B2, sendo que este é perpendicular a  A1A2
• Distância focal: d(F1F2) = 2a
• Eixo transverso ou eixo imaginário: d(B1B2) = 2b
• Semi eixo real: d(CA1) = a
• Semi eixo imaginário: d(CB1) = b
• Excentricidade: é a razão entre 'c' e 'a', e = c/a
• Relação notável: c² = a² + b²

OBS:

• Dizemos que uma hipérbole é equilátera se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não-focal, isto é, a = b.
• Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não-focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas. Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais, elas têm o mesmo centro, mesmas assíntotas e os focos a uma mesma distância do centro.

4.3   EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE.


4.3.1   EIXO REAL HORIZONTAL.

fig. 12

A equação reduzida da hipérbole nesse caso é dada por:

Onde (Xo, Yo) é o centro da hipérbole e 'a' e 'b' são respectivamente os semi-eixos real e imaginários da hipérbole.


4.3.2    EIXO REAL VERTICAL

fig. 13

Nessa situação, a hipérbole terá a seguinte equação:

4.4    ASSINTOTAS DA HIPÉRBOLE.


Entendemos como assintotas da hipérbole as retas que passam pelo centro da hipérbole e acompanham seus ramos, sem jamais tocá-los, ou seja, a hipérbole e assintotas não tem pontos em comum:

fig.14: as assíntotas da hipérbole

Numa hipérbole de eixo horizontal. o coeficiente angular das assíntotas são dadas por m = +/- b/a, e na de eixo vertical, as declividades são dadas por m = +/- a/b, e suas equações são dadas por:

• Eixo vertical: Y - Yo = +/-b/a.(X - Xo)
• Eixo vertical: Y - Yo = +/-.a/b.(X - Xo)

5.0    A PARÁBOLA

5.1   DEFINIÇÃO:

Desde cedo, os estudantes tem contato com essa cônica ao estudarem por exemplo, as funções de segundo grau, cujo gráfico é uma parábola. Todavia, a geometria analítica trabalha com parábolas cujo gráfico não é uma função. Consideremos então uma reta 'r' e um ponto 'F', fora de 'r'; a parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano tais que:
                                               d(P,r) = d(P,F)

fig. 15: a parábola e seus elementos.

5.2    ELEMENTOS:

• Foco: o ponto F;
• Diretriz: a reta r;
• Vértice: o ponto V;
• Eixo de simetria: a reta que passa por V e é perpendicular à diretriz;
• Parâmetro: a distância do foco até a reta diretriz.

5.3    EQUAÇÕES:

Agora, iremos postar as quatro equações básicas da parábola, bem como a situação em que cada uma ocorre. Não faremos a dedução da equação da parábola em nenhum casa, mas caso queira fazer isso, use a definição dada em 5.1.

5.3.1:

fig. 16

Neste primeiro caso, a diretriz é paralela com o eixo das abscissas e a concavidade da parábola é para cima, assim, sua equação é dada por:

                                         (X – Xv)² = 2p.(Y – Yv)

5.3.2:

fig. 17

Neste segundo caso, a diretriz é paralela com o eixo das abscissas e a concavidade da parábola é para baixo, assim, sua equação é dada por:

                                         (X – Xv)² = - 2p.(Y – Yv)

5.3.3:

fig. 18

Neste terceiro caso, a diretriz é paralela com o eixo das ordenadas e a concavidade da parábola é para a direita, assim, sua equação é dada por:

                                         (Y – Yv)² = 2p.(X – Xv)

5.3.4:

fig. 19

Neste quarto caso, a diretriz é paralela com o eixo das ordenadas e a concavidade da parábola é para a direita, assim, sua equação é dada por:

                                         (Y – Yv)² = - 2p.(X – Xv)

5.4 APLICAÇÕES PRÁTICAS:

Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos equipamentos e sistemas de vital importância para nossa sociedade. Dentre eles, podemos destacar:

• Antenas parabólicas e Radares: é comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas Parabólicas, que captam ondas eletromagnéticas que são enviadas por satélites em órbita ao redor da terra. Isto somente é possível devido à propriedade da parábola de refletir o conjunto de raios recebidos em um único ponto (o foco da parábola). Neste ponto encontra-se posicionado o receptor de ondas, que enviará o sinal recebido para um conversor que as decodificará e enviará para o receptor de televisão. Os aparelhos de radar operam de forma semelhante às antenas parabólicas, recebendo o eco de pulsos eletromagnéticos.
• Faróis de veículos: os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a luz da lâmpada localizada no foco se propague em raios paralelos ao eixo da parábola formando o facho. As lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta.
• Lançamento de projéteis: quando lançamos um objeto (míssil, pedra, flecha, etc.), desprezando a resistência do ar, este descreve uma curva parabólica. Por que isso? Devido a combinação dos movimentos horizontal e vertical, todo objeto arremessado para cima tem a trajetória vista do solo em formato de parábola.

6.0   REFERÊNCIAS:

• Matemática: construção e significado/obra coletiva concebida e desenvolvida pela Editora Moderna; editora responsável: Juliane Matsubara Barroso - São Paulo, 2008.
• Sousa, Maria Helena Soares de. Matemática 2° grau, São Paulo, Scipione, 2001.
• Wikipédia, a enciclopédia livre: http://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal.

Baixe diversos exercícios sobre circunferências, elipses, hipérboles e parábolas. Aí vai o link:

http://www.4shared.com/document/yBFjvvhk/LISTA_DE_EXERCCIOS.html?