Matemática é para todos!: INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO.

1.0 INTRODUÇÃO

Desde o nascimento do primeiro computador moderno, a tecnologia dos computadores desenvolveu-se numa velocidade fantástica. Hoje se vê computadores sendo usados, não somente para resolver problemas de alta complexidade computacional, mas também para executar tarefas que poderiam ser chamadas de inteligentes, se feitas por seres humanos. Algumas destas tarefas são: escrita de programas, responder perguntas, provar teoremas etc. A Inteligência Artificial é um ramo da ciência da computação que está preocupado com a execução de tais tarefas.

A segunda metade dos anos 60 foi fenomenal para a inteligência artificial devido ao aumento no interesse na prova automática de teoremas. A disseminação deste interesse foi causada, não somente pela crescente consciência de que a habilidade de fazer deduções lógicas é uma parte integrante da inteligência humana, mas foi, talvez, um resultado do nível alcançado pelas técnicas de prova automática de teoremas ao final dos anos 60. Os fundamentos da prova automática de teoremas foram desenvolvidos por Herbrand em 1930. Seu método era impossível de ser implementado até a invenção do computador digital. E continuou assim até a publicação do fantástico artigo de J.A. Robinson em 1965, junto com o desenvolvimento do princípio da resolução, cujos maiores passos foram dados para obter os provadores de teoremas implementados em computadores. A partir deste momento, sucessivos refinamentos têm sido feitos no princípio de resolução.

Paralelamente ao progresso no aprimoramento das técnicas de prova automática de teoremas aconteceu o progresso na aplicação das técnicas de prova automática de teoremas a vários problemas de inteligência artificial. Elas foram inicialmente aplicadas a dedução (resposta de questões) e, posteriormente para solução de problemas, síntese e análise de programas entre muitas outras aplicações.

Existem muitos pontos de vista através dos quais se pode estudar a lógica simbólica. Tradicionalmente, ela foi estudada através de orientações filosóficas e matemáticas. Aqui se está interessado em aplicações da lógica simbólica para resolução de problemas intelectualmente difíceis. Isto é, quer-se usar lógica simbólica para representar problemas e obter suas soluções.

A seguir vão ser apresentados alguns exemplos bastante simples para demonstrar como a lógica simbólica pode ser usada para representar problemas. Mesmo que não se tenha ainda discutido formalmente lógica simbólica pode-se utilizar a intuição para compreender o que segue.

2.0 A LÓGICA PROPOSICIONAL

Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa, afirmativa ou negativa, que poderá ser classificada como verdadeira ou falsa. Toda proposição apresenta três características:

ü Sendo oração, tem sujeito e predicado;

ü É declarativa;

ü Tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é VERDADEIRO ou é FALSO.

Exemplos:

ü “sete mais sete é igual a catorze.”, trata-se de uma declaração afirmativa que recebe o valor lógico VERDADEIRO;

ü “Fortaleza não é capital do Ceará.”, trata-se de uma afirmação que recebe o valor lógico de FALSO;

ü “o triplo de um número é quinze?”, trata-se de uma pergunta e não de uma declaração. Portanto, não pode ser declarada como VERDADEIRO ou FALSO;

ü “1 + 2” é apenas uma operação inacabada e não uma declaração, portanto sem valor lógico;

ü “1 + 2 = 3”, aqui temos uma declaração afirmativa, logo, com valor lógico “VERDADEIRO ou FALSO”, nesse caso VERDADEIRO.

As proposições são representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto seguidas de ‘:’ (dois pontos), e seus possíveis valores lógicos pelas letras V (de VERDADEIRO) e F (de FALSO), assim, facilitará na hora de analisarmos um conjunto de proposições como veremos adiante. Exemplo:

p: a baleia é um mamífero, valor lógico V;

q: o peixe é um animal terrestre, valor lógico F.

O contrário de uma proposição também tem uma representação: o símbolo ‘~’, que representa negação, que na maioria das vezes usamos o termo não para essa tarefa. Assim, a proposição p: Brasília é a capital do Brasil (valor lógico V) tem sua respectiva negação em ~p: Brasília não é a capital do Brasil (valor lógico F). Note também que a negação de uma proposição assume o valor lógico contrário da proposição original. Assim, se uma proposição tem valor lógico V, sua negação terá valor lógico F, e vice e versa. Veja:

p: a lógica evoluiu muito, valor lógico V;

~p; a lógica não evoluiu muito, valor lógico F;

q:a Itália não fica na Europa, valor lógico F;

~q: a Itália fica na Europa, valor lógico V.

Essa pequena observação será de muita valia mais adiante!

2.1 PROPOSIÇÃO FECHADA

É aquela que podemos garantir como sendo VERDADEIRA ou FALSA.

Exemplo: “p: x + 2 = 7”, nessa proposição, temos a garantia de que existe um único número (representado pela letra ‘x’) que somado com o número ‘dois’ dará ‘sete’ (nesse caso, esse número é ‘cinco’); “p: Sobral possui um clima quente” é outro exemplo de proposição fechada.

2.2 PROPOSIÇÃO ABERTA

É aquela que, mesmo sendo uma proposição, não temos garantia se é VERDADEIRA ou FALSA. Exemplo: “p: amanhã irá chover” (não temos a garantia se realmente vai chover, portanto não podemos garantir se é VERDADEIRO ou FALSO).

2.3 PROPOSIÇÃO SIMPLES

É aquela proposição que é única, isolada. Todas as proposições que vimos até aqui são proposições simples.

2.4 PROPOSIÇÃO COMPOSTA

É aquela que é formada por duas ou mais proposições, ligadas por termos conectivos operacionais: o conectivo ‘e’ ou o conectivo ‘ou’. Exemplos de proposições compostas: “r: João é magro e Guilherme é baixo”, “s: José está dormindo ou está brincando no quintal”.

Os conectivos operacionais recebem símbolos especiais: o conectivo ‘e’ recebe o símbolo ‘^’ e o conectivo ‘ou’ o símbolo ‘v’. Assim, se pegarmos duas proposições simples:

p: Meruoca está no alto da serra (valor lógico V) e q: o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V), podemos unir essas duas proposições com o conectivo ‘^’ (e):

p^q: Meruoca está no alto da serra e o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V)

pvq: Meruoca está no alto da serra ou o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V), obtendo então uma proposição composta. Observe que a conjunção ‘e’ implica as duas condições ao mesmo tempo, enquanto a conjunção ‘ou’ implica ser verdadeiro se uma das duas condições, mas não as duas ao mesmo tempo.

3.0 TABELA VERDADE

É uma representação de todos os possíveis valores lógicos que uma ou mais proposições pode (ou podem) assumir. Assim, uma proposição qualquer só pode assumir dois valores: ou V ou F, que podem ser representados na tabela:

Proposição	p: Francisco está na escola
Possíveis valores	V
Possíveis valores	F

Se forem duas proposições: uma proposição p: e sua negação ~p:, a tabela fica nesse formato:

Proposição	p: Francisco está na escola	~p: Francisco não está na escola
Possíveis valores	V	F
Possíveis valores	F	V

Assim, vemos que, se uma proposição assume o valor lógico V, sua negação assume o valor F, e vice e versa.

Já se temos duas proposições, a tabela dependerá do conectivo usado. Por exemplo, usando as proposições dadas acima e suas respectivas negações:

p: Meruoca está no alto da serra (valor lógico V)

~p: Meruoca não está no alto da serra (valor lógico F)

q: o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V)

~q: o clima de Meruoca não é ameno (valor lógico F)

Usando o conectivo ‘^’, teremos:

p^q: Meruoca está no alto da serra e o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V)

p^(~q): Meruoca está no alto da serra e o clima de Meruoca não é ameno (valor lógico F)

(~p)^q: Meruoca não está no alto da serra e o clima de Meruoca é ameno (valor lógico F)

(~p)^(~q): Meruoca não está no alto da serra e o clima de Meruoca não é ameno (valor lógico V)

Vamos montar então a tabela verdade com essas proposições e seus respectivos valores lógicos:

p: V	q: V	p^q: V
p: V	~q: F	p^(~q): F
~p: F	q: V	(~p)^q: F
~p: F	~q: F	p^(~q): F

A partir desse resultado, podemos montar uma tabela mais geral em que se exibe todas as combinações possíveis para duas proposições quaisquer e os valores lógicos que elas podem assumir:

p:	q:	p^q:
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Observe que, no caso da conjunção ‘e’, se uma das proposições for falsa, implica que a proposição composta formada também o é (na proposição p^(~q): Meruoca está no alto da serra e o clima de Meruoca não é ameno, sabemos da Geografia que Meruoca está no alto da serra, porém ela tem clima ameno, e não o contrário, conforme sugerido na proposição).

Tente montar uma tabela verdade que analise três proposições e os possíveis valores lógicos que todas as proposições compostas por elas podem assumir (são oito proposições que podem ser formadas):

Já no caso da conjunção ‘ou’, a tabela muda um pouco. Sabemos que o conectivo ‘ou’ torna a proposição composta verdadeira se uma das ou as duas ou mais proposições que a formam for verdadeira. Sendo assim, vejamos as proposições abaixo:

p: na biblioteca tem livros (valor lógico V)

~p: na biblioteca não tem livros (valor lógico F)

q: os livros estão na estante (valor lógico V)

~q: os livros estão na estante (valor lógico F)

Podemos formar a seguinte seqüência de proposições nas quais usaremos o conectivo ‘ou’:

pvq: na biblioteca tem livros ou os livros estão na estante (valor lógico V)

(~p)vq: na biblioteca não tem livros ou os livros estão na estante (valor lógico V)

pv(~q): na biblioteca tem livros ou os livros não estão na estante (valor lógico V)

(~p)v(q): na biblioteca não tem livros ou os livros não estão na estante (valor lógico F)

Montando a tabela:

p: V	q: V	pvq: V
p: V	~q: F	pv(~q): V
~p: F	q: V	(~p)vq: V
~p: F	~q: F	pv(~q): F

Assim, também podemos formar uma tabela mais geral, que analise duas proposições quaisquer e os possíveis valores lógicos formados pelas suas proposições compostas:

p:	q:	pvq:
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

A saber, uma proposição em que todos os seus valores lógicos são verdadeiros é uma tautologia, e se todos são falsos é uma contradição:

Exemplo 01: TAUTOLOGIA

p:	~p:	pv(~p)
V	F	V
F	V	V

Exemplo 02: CONTRADIÇÃO

p:	~p:	p^(~p)
V	F	F
F	V	F

4.0 CONDICIONAL

Diariamente ouvimos expressões do tipo: "Se você compra isso então ganha aquilo"; "Se fulano fizer isso, então vou fazer aquilo com ele", e etc, os exemplos são muitos. Todas as proposições que consistem em duas sentenças, uma das quais começa com a palavra “se” ou “quando” ou alguma palavra equivalente, são chamadas proposições condicionais. Tais proposições são, freqüentemente, usadas quando o propósito é estabelecer certas conclusões, e assim elas são muito comuns no campo da publicidade. Elas também são importantes na Matemática, quando estamos lidando com provas dedutivas.

Se ‘p:’ então ‘q:’

A expressão condicional é representada por: p -> q. Por exemplo temos:

‘Se x é par então x é divisível por 2’

Assim, podemos resumir na tabela:

p:	q:	p -> q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Exemplo 03: mostre que há uma tautologia na oração abaixo (um exemplo um pouco mais complexo que os anteriores):

‘Se Carlos é inteligente, então Carlos é inteligente ou José é estudioso’

SOLUÇÃO:

Vejamos que a oração acima é uma proposição composta. Vamos então “decompor” essa oração em proposições simples:

p: Carlos é inteligente

q: José é estudioso

Vejamos que a oração apresenta uma condição (expressa pelo 'se...') e temos um conectivo 'ou ' que liga as proposições p: e q: logo após a condição. Então, a oração é da forma 'p: -> p v q'. Vamos então montar uma tabela verdade com essas proposições:

p:	q:	p v q	p: -> (p v q)
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	F	V

Analisando então os valores lógicos caso a caso, vemos que na última coluna todos os valores lógicos deram 'V', e isso caracteriza de fato uma tautologia.

5.0 CONDIÇAO SUFICIENTE E CONDIÇÃO NECESSÁRIA

Condição suficiente é aquela condição que basta acontecer para que a outra aconteça. Veja:

· ‘Se Antônio passou de ano, então ele passou em matemática’, passar de ano é condição suficiente para ele ter passado em matemática, já passar em matemática é condição necessária para que Antônio passe de ano, mas não suficiente (também tem as outras matérias de que ele necessita obter aprovação)

6.0 SILOGISMO

É uma forma de raciocínio dedutivo que, partindo-se de certas informações, infere-se em uma determinada conclusão. Por exemplo, temos as proposições:

p: Todos os homens são bons.

q: Carlos é um homem.

Podemos a partir dessas duas proposições tirar uma conclusão: Carlos é bom.

Observação: os problemas de silogismo geralmente apresentam expressões como ‘todos’, ‘algum’, ‘pelo menos um’ e ‘nenhum’. Muitos exercícios são facilmente resolvidos usando-se o diagrama de Euler-Venn:
01ª) Todo ‘A’ é ‘B’ (se um elemento pertence a ‘A’, então ele também pertence a ‘B’):