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terça-feira, 26 de julho de 2011

VISUALIZAÇÃO DE GRÁFICOS EM 3D USANDO O SOFTWARE 'GNUPLOT'

NOTA: É necessário que o leitor até aqui tenha um conhecimento do referido software; se quiser pode visualizar o arquivo http://profleonardomatematica.blogspot.com/2011_04_01_archive.html, que contém algumas instruções básicas a respeito do mesmo.

1.0   SUPERFÍCIES

       Para começar, grosso modo, podemos considerar o espaço R3 como sendo o conjunto de triplas ordenadas da forma (x, y, z), onde x, y e z são números pertencentes aos conjunto dos números reais.
       Intuitivamente, também temos a noção de superfície e de sólidos. Uma superfície seria então um objeto no espaço R3 que possua apenas área, enquanto sólido é um objeto em R3 que possua volume; para ilustrar bem o que tento dizer: pense em uma laranja :sua casca nos traduz agora a noção de superfície (embora seja um conceito bem grosseiro, já que superfície não tem espessura), e o conjunto interior do fruto - casca nos traduz a ideia de sólido. Para leitores mais familiarizados com cálculo diferencial, superfícies são objetos de dimensão 2 em R3, e  sólidos são objetos de dimensão 3 em R3.
       São exemplos de superfícies (todas elas desenhadas com o software gnuplot):
Exemplo 01: plano
Exemplo 02: calha

Exemplo 03: parabolóide
Exemplo 04: f(x, y) = ln(x^2 + y^2)
       Já deu para perceber bem que nem sempre a representação gráfica de funções de duas variáveis é algo simples, e as vezes é bem complicado! Existem vários métodos, alguns privilegiam curvas de nível dessa superfície, outros consideram a instersecção de planos com a superfície considerada, inclusive a intersecção desta mesma com os planos coordenados. Vamos então ao que nos interessa: como esboçar o gráfico de superfícies no espaço 3D?

2.0    COMANDOS NECESSÁRIOS PARA O ESBOÇO DE GRÁFICOS EM 3D:

       Abra o programa gnuplot, e no prompt de comando digite a seguinte função:
gnuplot> f(x,y) = x + y - 7
       Ao digitarmos o texto acima, acabamos de definir a função f(x,y). Para visualizarmos, faremos uso do comando splot:
gnuplot> splot f(x,y)
        Veja então o que aparece:

        O comando splot nada mais é do que o comando utilizado para gráficos em 3D. Quando digitamos "splot f(x,y)", o programa imediatamente mostrará o gráfico da função no espaço tridimensional. Vamos agora aprender a dar uma incrementada nesse gráfico. Se você fechar o gráfico e digitar o comando "set isosamples 80,80", e depois plotar o gráfico, o resultado será esse:

        A função do comando "set isosamples a,b" é melhorar a resolução do gráfico, fechar um pouco mais a malha utilizada para compô-lo. Se quisermos aumentar ainda mais a resolução do gráfico, basta digitar números maiores para 'a' e 'b', mas lembre-se que um gráfico com uma resolução muito grande pode demorar muito para ser processado, porém útil para serem enxergados mais detalhes; é como uma foto, no geral, melhor a resolução, maior a riqueza em detalhes.
        Outro comando bem interessante é o "set hidden3d"! Vejamos: digite no prompt de comando a opção "set hidden3d", tecle enter e em seguida plote o gráfico da função f(x,y) = 4 - x^2 - y^2, veja só:

      Esse comando tem uma função estética interessante: ele "esconde" a parte de trás do gráfico, dando a ele um aspecto sólido. Embora pareça uma coisa fútil, é bom lembrar que esse comando pode nos dar uma ajuda e tanto na hora de enxergarmos o gráfico de uma função qualquer tridimensional; veja os exemplos abaixo; em ambos está esboçado o gráfico da função f(x,y) = sin(x) + cos(y); veja e tire suas conclusões!


Sem o "hidden3d"

Com o "hidden3d". Olha a diferença!
        Bem interessante também é o comando set pm3d! Observe por exemplo como ficaria essa função acima com esse comando: no prompt de comando, digite "set pm3d" e tecle enter em seguida, depois peça para ele plotar o gráfico da função dada. Veja como fica:

        Interessante também relembrar que todas as opções que são válidas no modo 2D também são válidas no modo 3D, como por exemplo, set xtics, set ytics, set title, etc; agora podemos acrescentar a essa lista as opções "set zrange [a:b]", para definirmos um domínio em Oz; "set ztics 'a'", com 'a' sendo uma constante escalar, que define o tamanho dos intervalos de subdivisão do eixo Z e set zlabel "nome", para atribuirmos um "nome" ao eixo Oz.


3.0    VISUALIZANDO CURVAS DE NÍVEL EM GRÁFICOS 3D

      Curvas de nível são a projeção da intersecção de planos com o gráfico de uma função qualquer f(x,y) sobre o plano xy , sendo que elas são sempre subconjunto do domínio da função f(x,y) e possuem a  forma genérica f(x,y) = k, onde 'k' é uma constante escalar. São instrumentos bastante utilizados em engenharia,  meteorologia, termodinâmica, topografia, etc; em um mapa, pode indicar se determinado ponto tem altitude positiva ou negativa; em meteorologia servem para indicar se determinada região tem pluviosidade alta ou baixa, e assim vai! São instrumentos importantes na matemática, pois sua análise nos diz bastante coisa a respeito do comportamento de uma função.
       Para visualizarmos as curvas de nível usando gnuplot, faremos uso de um dos comandos:
01) set contour base
02) set contour surface
03) set contour both
       Mas como que eu vou saber qual utilizar? Calma! Vamos utilizar cada um de uma vez para que você possa compreender as diferenças, vantagens e desvantagens de cada um deles. Para começar, digite as linhas de comando abaixo:
gnuplot> set isosamples 30,60
gnuplot> set contour base
gnuplot> splot sin(x) + cos(y)
      E o gráfico:

    O comando "set contour base" projeta as curvas de nível da função abaixo do gráfico da mesma, dando esse aspecto aí observado no desenho, porém se você digitar agora "set contour surface", o resultado é esse:

     Viu só! Ele desenhou as curvas de nível na própria superfície! Seu uso é desvantajoso, pois dificulta um pouco a observação das curvas. E finalmente se escolhermos a opção "set contour both":

      Esse último comando simplesmente junta os outros dois anteriores, dando esse aspecto na visualização do gráfico!
      Importante também sabermos que podemos definir o intervalo entre duas curvas de nível, bem como restringi-las a um domínio específico. Para entendermos melhor, digite a seguinte linha de comando:
gnuplot> reset
gnuplot> set isosamples 30,60
gnuplot> set hidden3d
gnuplot> set contour base
gnuplot> set cntrparam levels incremental -2, 0.2, 2
gnuplot> splot sin(x) + cos(y)
      Eis o resultado:
      Explica-se: o comando "cntrparam levels incremental" serve para informar ao programa que você irá alterar o número de curvas de nível na função; os números das extremidades (-2 e 2) informam o intervalo no eixo z ao qual as curvas de nível estão restritas, e o número do meio (0.2) nos diz o intervalo entre duas curvas de nível consecutivas. Note que no gráfico ficou uma legenda muito extensa, informando as linhas utilizadas para todas as curvas de nível, nesse caso, como prejudica a visualização do gráfico, podemos digitar em seguida o comando "unset key":


4.0    O MODO PARAMETRIC

4.1    SUPERFÍCIES NA FORMA PARAMÉTRICA


No começo desse artigo definimos de uma maneira breve o conceito de superfície. De um modo geral, no estudo do cálculo vetorial em R3, consideramos de extrema importância o conceito de sólido e de superfície. De um modo intuitivo, dizemos que um sólido é um objeto em R3 que possua volume diferente de zero, ao passo que superfície possui área, porém em seu interior temos que o volume que ali se encontra é zero. De um modo mais formal e matemático, sólido é um objeto que possui dimensão 3 em R3 e superfície é um objeto de dimensão 2 em R3.
No nosso caso particular, consideraremos as superfícies. Uma superfície ‘S’ em R3 fica caracterizada como sendo um conjunto de pontos (uma aplicação) de R2 em R3. Tais aplicações estão definidas por equações que são chamadas de equações paramétricas, e o conjunto de pontos gerados por essas equações é que dão origem à superfície, que fica conhecida por superfície paramétrica:
S(u,v)) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))                               
                   
  As funções x, y e z são também chamadas de funções coordenadas de S.

Uma outra maneira de se representar a equação de uma superfície paramétrica é usar a notação vetorial:

                                      S(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k      
Um exemplo de superfície paramétrica é o plano gerado pelas equações x(u, v) = u; y(u, v) = v e z(u, v) = 2u + 3 (*), que analiticamente falando corresponde ao plano z = 2x + 3:
Bom, para não perdermos o foco de nosso estudo, vamos ver como se faz para representarmos as superfícies na forma paramétrica usando o prompt de comando do gnuplot.


4.1    O MODO PARAMETRIC


No prompt de comando do gnuplot, digite "set parametric" e em seguida tecle enter:
Pronto! O programa agora está apto a trabalhar com objetos matemáticos na forma paramétrica! Veja que agora não utilizaremos as variáveis 'x' e 'y', e sim as variáveis 'u' e 'v' (e se você percebeu, devemos utilizar a variável 't' para representarmos curvas paramétricas). Agora, vamos ver um exemplo de como trabalharemos as superfícies na forma paramétrica. Pegue como exemplo o exemplo dado em (*). Depois de passar o programa para a forma paramétrica, digite:
gnuplot> splot u, v, 2*u + 3
Teclando enter:
Viu só como não é difícil!
Um outro exemplo: se quisermos representar em R3 uma superfície esférica de raio 2, podemos representa-la através da parametrização (2sen(u)cos(v), 2sen(u)sen(v),2cos(u)). No gnuplot, olha só como é que fica:
gnuplot> set parametric
gnuplot> set isosamples 30,50
gnuplot> set hidden3d
gnuplot> splot 2*sin(u)*cos(v), 2*sin(u)*sin(v), 2*cos(u)


Teste você também essas opções e aprimore seus conhecimentos a respeito desse programa.


5.0   REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

·        *  Stewart, James. Cálculo.Volume II , 5ª edição, Manchester University. Tradução Antônio Carlos Moretti e  Antônio Carlos Gilli Martins. Cencage Martins, São Paulo, 2006
·         * Mirian Buss Gonçalves, Dra. E Diva Maria Flemming, Dra. Cálculo C 3ª edição. Funções vetoriais, integrais curvilíneas e integrais de superfície. Makon Books do Brasil Ltda – São Paulo, 1991
·         * Cálculo volume III. Campos vetoriais/ VILCHE, Maurício A. e CORRÊA, Maria L. – publicado no site da UFRJ;
·         * Introdução ao uso do aplicativo gnuplot; Galo, Maurício. Editora da UNESP, Presidente Prudente, 2003
·         *Steinbruch, Alfredo e Winterle, Paulo. Geometria analítica, 2ª Ed. – São Paulo : McGraw-Hill, 1987
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sábado, 23 de julho de 2011

QUESTÃO DESAFIO!

Essa é para quem gosta muito de álgebra e uma boa dose de raciocínio. Essa questão eu mesmo elaborei, e envolve conhecimentos sobre o princípio da Indução Finita, que pode ser encontrado em livros de Teoria dos Números. Propus ela a um grupo de alunos valendo uma nota dez, e dei o prazo de duas semanas, mas nenhum conseguiu! Veja se algum de vocês consegue resolvê-la e mande a resposta via comentários! Boa sorte!!!!

INTRODUÇÃO AO RACIOCÍNIO LÓGICO.

1.0     INTRODUÇÃO

Desde o nascimento do primeiro computador moderno, a tecnologia dos computadores desenvolveu-se numa velocidade fantástica. Hoje se vê computadores sendo usados, não somente para resolver problemas de alta complexidade computacional, mas também para executar tarefas que poderiam ser chamadas de inteligentes, se feitas por seres humanos. Algumas destas tarefas são: escrita de programas, responder perguntas, provar teoremas etc. A Inteligência Artificial é um ramo da ciência da computação que está preocupado com a execução de tais tarefas.
            A segunda metade dos anos 60 foi fenomenal para a inteligência artificial devido ao aumento no interesse na prova automática de teoremas. A disseminação deste interesse foi causada, não somente pela crescente consciência de que a habilidade de fazer deduções lógicas é uma parte integrante da inteligência humana, mas foi, talvez, um resultado do nível alcançado pelas técnicas de prova automática de teoremas ao final dos anos 60. Os fundamentos da prova automática de teoremas foram desenvolvidos por Herbrand em 1930. Seu método era impossível de ser implementado até a invenção do computador digital. E continuou assim até a publicação do fantástico artigo de J.A. Robinson em 1965, junto com o desenvolvimento do princípio da resolução, cujos maiores passos foram dados para obter os provadores de teoremas implementados em computadores. A partir deste momento, sucessivos refinamentos têm sido feitos no princípio de resolução.
            Paralelamente ao progresso no aprimoramento das técnicas de prova automática de teoremas aconteceu o progresso na aplicação das técnicas de prova automática de teoremas a vários problemas de inteligência artificial. Elas foram inicialmente aplicadas a dedução (resposta de questões) e, posteriormente para solução de problemas, síntese e análise de programas entre muitas outras aplicações.
            Existem muitos pontos de vista através dos quais se pode estudar a lógica simbólica. Tradicionalmente, ela foi estudada através de orientações filosóficas e matemáticas. Aqui se está interessado em aplicações da lógica simbólica para resolução de problemas intelectualmente difíceis. Isto é, quer-se usar lógica simbólica para representar problemas e obter suas soluções.
            A seguir vão ser apresentados alguns exemplos bastante simples para demonstrar como a lógica simbólica pode ser usada para representar problemas. Mesmo que não se tenha ainda discutido formalmente lógica simbólica pode-se utilizar a intuição para compreender o que segue.




             2.0    A LÓGICA PROPOSICIONAL

            Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa, afirmativa ou negativa, que poderá ser classificada como verdadeira ou falsa. Toda proposição apresenta três características:
ü  Sendo oração, tem sujeito e predicado;
ü  É declarativa;
ü  Tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é VERDADEIRO ou é FALSO.
            Exemplos:
ü  sete mais sete é igual a catorze.”, trata-se de uma declaração afirmativa que recebe o valor lógico VERDADEIRO;
ü  Fortaleza não é capital do Ceará.”, trata-se de uma afirmação que recebe o valor lógico de FALSO;
ü  o triplo de um número é quinze?”, trata-se de uma pergunta e não de uma declaração. Portanto, não pode ser declarada como VERDADEIRO ou FALSO;
ü  1 + 2” é apenas uma operação inacabada e não uma declaração, portanto sem valor lógico;
ü  1 + 2 = 3”, aqui temos uma declaração afirmativa, logo, com valor lógico “VERDADEIRO ou FALSO”, nesse caso VERDADEIRO.
As proposições são representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto seguidas de ‘:’ (dois pontos), e seus possíveis valores lógicos pelas letras V (de VERDADEIRO) e F (de FALSO), assim, facilitará na hora de analisarmos um conjunto de proposições como veremos adiante. Exemplo:
p: a baleia é um mamífero, valor lógico V;
q: o peixe é um animal terrestre, valor lógico F.
            O contrário de uma proposição também tem uma representação: o símbolo ‘~’, que representa negação, que na maioria das vezes usamos o termo não para essa tarefa. Assim, a proposição p: Brasília é a capital do Brasil (valor lógico V) tem sua respectiva negação em ~p: Brasília não é a capital do Brasil (valor lógico F). Note também que a negação de uma proposição assume o valor lógico contrário da proposição original. Assim, se uma proposição tem valor lógico V, sua negação terá valor lógico F, e vice e versa. Veja:
p: a lógica evoluiu muito, valor lógico V;
~p; a lógica não evoluiu muito, valor lógico F;
q:a Itália não fica na Europa, valor lógico F;
~q: a Itália fica na Europa, valor lógico V.
            Essa pequena observação será de muita valia mais adiante!




           2.1     PROPOSIÇÃO FECHADA

            É aquela que podemos garantir como sendo VERDADEIRA ou FALSA.
Exemplo: “p: x + 2 = 7”, nessa proposição, temos a garantia de que existe um único número (representado pela letra ‘x’) que somado com o número ‘dois’ dará ‘sete’ (nesse caso, esse número é ‘cinco’); “p: Sobral possui um clima quente” é outro exemplo de proposição fechada.



           2.2       PROPOSIÇÃO ABERTA

            É aquela que, mesmo sendo uma proposição, não temos garantia se é VERDADEIRA ou FALSA. Exemplo: “p: amanhã irá chover” (não temos a garantia se realmente vai chover, portanto não podemos garantir se é VERDADEIRO ou FALSO).



            2.3      PROPOSIÇÃO SIMPLES

            É aquela proposição que é única, isolada. Todas as proposições que vimos até aqui são proposições simples.



            2.4    PROPOSIÇÃO COMPOSTA

            É aquela que é formada por duas ou mais proposições, ligadas por termos conectivos operacionais: o conectivo ‘e’ ou o conectivo ‘ou’. Exemplos de proposições compostas: “r: João é magro e Guilherme é baixo”, “s: José está dormindo ou está brincando no quintal”.
            Os conectivos operacionais recebem símbolos especiais: o conectivo ‘e’ recebe o símbolo ‘^’ e o conectivo ‘ou’ o símbolo ‘v’. Assim, se pegarmos duas proposições simples:
p: Meruoca está no alto da serra (valor lógico V) e q: o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V), podemos unir essas duas proposições com o conectivo ‘^’ (e):
p^q: Meruoca está no alto da serra e o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V)
pvq: Meruoca está no alto da serra ou o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V), obtendo então uma proposição composta. Observe que a conjunção ‘e’ implica as duas condições ao mesmo tempo, enquanto a conjunção ‘ou’ implica ser verdadeiro se uma das duas condições, mas não as duas ao mesmo tempo



           3.0    TABELA VERDADE

            É uma representação de todos os possíveis valores lógicos que uma ou mais proposições pode (ou podem) assumir. Assim, uma proposição qualquer só pode assumir dois valores: ou V ou F, que podem ser representados na tabela:
Proposição
p: Francisco está na escola
Possíveis valores
V
F
            Se forem duas proposições: uma proposição p: e sua negação ~p:, a tabela fica nesse formato:
Proposição
p: Francisco está na escola
~p: Francisco não está na escola
Possíveis valores
V
F
F
V
Assim, vemos que, se uma proposição assume o valor lógico V, sua negação assume o valor F, e vice e versa.
Já se temos duas proposições, a tabela dependerá do conectivo usado. Por exemplo, usando as proposições dadas acima e suas respectivas negações:
p: Meruoca está no alto da serra (valor lógico V)
~p: Meruoca não está no alto da serra (valor lógico F)
q: o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V)
~q: o clima de Meruoca não é ameno (valor lógico F)
           Usando o conectivo ‘^’, teremos:
p^q: Meruoca está no alto da serra e o clima de Meruoca é ameno (valor lógico V)
p^(~q): Meruoca está no alto da serra e o clima de Meruoca não é ameno (valor lógico F)
(~p)^q: Meruoca não está no alto da serra e o clima de Meruoca é ameno (valor lógico F)
(~p)^(~q): Meruoca não está no alto da serra e o clima de Meruoca não é ameno (valor lógico V)
Vamos montar então a tabela verdade com essas proposições e seus respectivos valores lógicos:
p: V
q: V
p^q: V
p: V
~q: F
p^(~q): F
~p: F
q: V
(~p)^q: F
~p: F
~q: F
p^(~q): F
              A partir desse resultado, podemos montar uma tabela mais geral em que se exibe todas as combinações possíveis para duas proposições quaisquer e os valores lógicos que elas podem assumir:
p:
q:
p^q:
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
             Observe que, no caso da conjunção ‘e’, se uma das proposições for falsa, implica que a proposição composta formada também o é (na proposição p^(~q): Meruoca está no alto da serra e o clima de Meruoca não é ameno, sabemos da Geografia que Meruoca está no alto da serra, porém ela tem clima ameno, e não o contrário, conforme sugerido na proposição).
Tente montar uma tabela verdade que analise três proposições e os possíveis valores lógicos que todas as proposições compostas por elas podem assumir (são oito proposições que podem ser formadas):

            Já no caso da conjunção ‘ou’, a tabela muda um pouco. Sabemos que o conectivo ‘ou’ torna a proposição composta verdadeira se uma das ou as duas ou mais proposições que a formam for verdadeira. Sendo assim, vejamos as proposições abaixo:
p: na biblioteca tem livros (valor lógico V)
~p: na biblioteca não tem livros (valor lógico F)
q: os livros estão na estante (valor lógico V)
~q: os livros estão na estante (valor lógico F)
           Podemos formar a seguinte seqüência de proposições nas quais usaremos o conectivo ‘ou’:
pvq: na biblioteca tem livros ou os livros estão na estante (valor lógico V)
(~p)vq: na biblioteca não tem livros ou os livros estão na estante (valor lógico V)
pv(~q): na biblioteca tem livros ou os livros não estão na estante (valor lógico V)
(~p)v(q): na biblioteca não tem livros ou os livros não estão na estante (valor lógico F)
            Montando a tabela:
p: V
q: V
pvq: V
p: V
~q: F
pv(~q): V
~p: F
q: V
(~p)vq: V
~p: F
~q: F
pv(~q): F
            Assim, também podemos formar uma tabela mais geral, que analise duas proposições quaisquer e os possíveis valores lógicos formados pelas suas proposições compostas:
p:
q:
pvq:
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
                A saber, uma proposição em que todos os seus valores lógicos são verdadeiros é uma tautologia, e se todos são falsos é uma contradição:

Exemplo 01: TAUTOLOGIA
p:
~p:
pv(~p)
V
F
V
F
V
V


Exemplo 02: CONTRADIÇÃO

p:
~p:
p^(~p)
V
F
F
   F
V
F





         

            4.0    CONDICIONAL


Diariamente ouvimos expressões do tipo: "Se você compra isso então ganha aquilo"; "Se fulano fizer isso, então vou fazer aquilo com ele", e etc, os exemplos são muitos. Todas as proposições que consistem em duas sentenças, uma das quais começa com a palavra “se” ou “quando” ou alguma palavra equivalente, são chamadas proposições condicionais. Tais proposições são, freqüentemente, usadas quando o propósito é estabelecer certas conclusões, e assim elas são muito comuns no campo da publicidade. Elas também são importantes na Matemática, quando estamos lidando com provas dedutivas.
Se ‘p:’ então ‘q:’
             A expressão condicional é representada por: p -> q. Por exemplo temos:
Se x é par então x é divisível por 2

             Assim, podemos resumir na tabela:

p:
q:
p -> q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V


Exemplo 03: mostre que há uma tautologia na oração abaixo (um exemplo um pouco mais complexo que os anteriores):
Se Carlos é inteligente, então Carlos é inteligente ou José é estudioso

SOLUÇÃO:
Vejamos que a oração acima é uma proposição composta. Vamos então “decompor” essa oração em proposições simples:
p: Carlos é inteligente
q: José é estudioso
Vejamos que a oração apresenta uma condição (expressa pelo 'se...') e temos um conectivo 'ou ' que liga as proposições p: e q:  logo após a condição. Então, a oração é da forma 'p: -> q'. Vamos então montar uma tabela verdade com essas proposições:           

p:
q:
p v q
p: -> (p v q)
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V


Analisando então os valores lógicos caso a caso, vemos que na última coluna todos os valores lógicos deram 'V', e isso caracteriza de fato uma tautologia.





             5.0     CONDIÇAO SUFICIENTE E CONDIÇÃO NECESSÁRIA

            Condição suficiente é aquela condição que basta acontecer para que a outra aconteça. Veja:
·         Se Antônio passou de ano, então ele passou em matemática’, passar de ano é condição suficiente para ele ter passado em matemática, já passar em matemática é condição necessária para que Antônio passe de ano, mas não suficiente (também tem as outras matérias de que ele necessita obter aprovação)




            6.0   SILOGISMO

            É uma forma de raciocínio dedutivo que, partindo-se de certas informações, infere-se em uma determinada conclusão. Por exemplo, temos as proposições:
p: Todos os homens são bons.
q: Carlos é um homem.
Podemos a partir dessas duas proposições tirar uma conclusão: Carlos é bom.
Observação: os problemas de silogismo geralmente apresentam expressões como ‘todos’, ‘algum’, ‘pelo menos um’ e ‘nenhum’. Muitos exercícios são facilmente resolvidos usando-se o diagrama de Euler-Venn:
01ª)  Todo ‘A’ é ‘B’ (se um elemento pertence a ‘A’, então ele também pertence a ‘B’):
02ª) Nenhum 'A' é 'B' (não existe nenhum elemento de 'A' que pertença à 'B'):

03ª) Algum 'A' é 'B' (alguns elementos de 'A' também são elementos de 'B', mas não todos):
04ª) Algum ‘A’ não é ‘B’ (existe pelo menos um elemento que pertence a ‘A’ e não pertence a ‘B’ e vice e versa: