Resumo Geometria Espacial

Este arquivo contém um resumo dos principais conteúdos abordados na geometria espacial, fórmulas e relações nas figuras notáveis. Clique para baixar: http://www.4shared.com/document/S8dVqem5/BIZU_-_geometria_espacial.html?

CAMPOS VETORIAIS EM R2 E R3 SUA VISUALIZAÇÃO NO R2 COM GNUPLOT

     Neste artigo iremos abordar brevemente um pouco da dinâmica dos campos vetoriais e sua visualização com o aplicativo gnuplot. É necessário que o leitor tenha certa familiaridade com o aplicativo e com conceitos de cálculo diferencial aplicado a campos vetoriais.


1.0   O QUE É MESMO UM VETOR?


     Vetor, fisicamente falando, é uma forma matemática de representar entidades físicas que possuem mais de uma característica em sua descrição. Por exemplo, quando você está no seu carro a 60 km/h, você percebe que ela tem uma intensidade (um valor), uma direção e um sentido (não confunda direção e sentido, são conceitos diferentes! Por exemplo, quando você percorre a rua que vai ao seu colégio (direção), você pode percorrer o sentido casa-colégio ou colégio-casa.). Todas as chamadas grandezas físicas podem ser chamadas de grandezas vetoriais se elas possuírem essas três características: módulo, direção e sentido. Exemplos de grandezas assim: a força, a própria velocidade, a aceleração, o deslocamento, etc.
     Na matemática, um vetor é representado através de uma seta orientado para a direção de seu sentido. E vetores também podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados por um número ou mesmo ter seu sentido invertido(quando o multiplicamos por -1), e essas operações obedecem: comutatividade,  associatividade e distributividade. A multiplicação de um número (ou a divisão) por um vetor altera sua intensidade, podendo torná-la mais ou menos intensa (geralmente a esse número damos o nome de escalar).

fig. 01:vetor no plano cartesiano.

fig. 02: vetor em R3.

fig. 03: a base canônica (i, j, k)

2.0   O CAMPO VETORIAL

Diariamente, temos “contatos” com campos vetoriais, muitas vezes de forma inconsciente e a maioria das pessoas não sabe disso. Exemplos:

i) Quando você abre sua torneira para lavas suas mãos, cada molécula de água que está dentro daquela tubulação possui certa velocidade, caminha em certa direção e segue certo sentido; se o fluxo de água nessa torneira se mantiver constante, estaremos diante de um campo vetorial cujos vetores estarão associados à velocidade do líquido naquela tubulação:

fig.04: secção de um fio

ii) Da mesma forma um fio elétrico possui carga elétrica que o percorre em toda extensão com certa velocidade elevada e possui um certo sentido e fluxo constante pode ser associado a um campo vetorial semelhante ao da tubulação de água;

iii) Uma panela quente que perde calor para o meio externo pode também ser associada a um campo vetorial: se considerarmos a forma que o calor flui ( de fora para dentro; do ambiente mais quente para o ambiente mais frio) teremos um campo de vetores bem definido:

fig.05: fluxo de calor em uma panela

     Uma definição matemática de campos vetoriais é:

“Um campo de vetores em A C Rⁿ é uma função F: A C Rⁿ  Rⁿ”

     Assim, em relação ao referencial do R² (i, j) ou o referencial do R³ (i, j, k) a função que define o campo terá por expressão: F(x, y) = [P(x, y), Q(x, y)] ou ainda F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j no caso do R² ou F(x, y, z) = [P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ou ainda F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k no caso de ser um campo no R³. Assim, um campo vetorial fica determinado pelas funções P, Q ou R definidas no domínio 'A' a valores reais. Essas funções são chamadas de funções componentes do campo vetorial .

      Dizemos ainda que um campo vetorial é contínuo e de classe C^k (uma função é de classe C^k se suas derivadas até a ordem k são contínuas) se suas funções componentes P, Q (para o R²) ou P, Q, R (para o R³) também forem de classe C^k.

      A partir de um campo dado, podem-se obter novos campos que fornecem informações sobre o campo original, sendo os exemplos mais conhecidos: o campo gradiente, o campo divergente e o campo rotacional, que iremos ver as motivações das existências dos mesmos a seguir.


2.1    O CAMPO VETORIAL GRADIENTE


     Um campo vetorial gradiente é aquele campo que está definido em um subconjunto aberto A do R² (ou do R³) de tal forma que, para cada ponto P de um certo campo vetorial T definido em R² (ou R³) ele associa o vetor ( dT/dX, dT/dY) - no caso de T ser do R² – ou (dT/dX, dT/dY, dT/dZ) - no caso de T ser do R³ – denotamos o gradiente de um campo vetorial por:

     Outra notação usada para o gradiente é a representada abaixo:

     Uma justificativa física do gradiente é para calcular a taxa de variação de um fluxo qualquer de um ponto P de um campo definido em um domínio A por uma função T na direção de um vetor v. Se a função T que forma o campo é diferenciável, então ela admite derivadas parciais em P, então a derivada direcional de T, relativa a  em P é:

     O que motivou a definição de gradiente dada acima.




2.2     O CAMPO VETORIAL DIVERGENTE


     Definição: dado um campo vetorial T = (P(x, y), Q(x, y)) - em R² – ou T = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) - em R³ – tais que as funções P, Q e R tenham derivadas parciais no mesmo domínio do campo vetorial T, define-se como divergente do campo vetorial T o campo escalar dado pela função:

Ou ainda

     Note que  é dado por um produto escalar, o que implica o não aparecimento dos vetores da base canônica.

     Uma interpretação física do divergente é para o cálculo da variação de volume de um fluido que escoa por um canal com certa velocidade. Se a função  = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k contida em um domínio D do R³ representa a velocidade do fluido em certo ponto (x, y, z); A um ponto pertencente ao mesmo domínio aberto D do R³ e se tomarmos um paralelepípedo com um vértice em A e de arestas , pode-se provar que a variação do volume do líquido em determinada unidade de tempo é dada por:

     A interpretação dada pelo exemplo anterior não é única. Na física, ele é aplicado em diversas áreas como eletricidade e magnetismo, gravitação etc. O divergente é muito estudado em Teorema da Divergência de Gauss.


2.3     ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL


     Definição: dado um campo vetorial T = (P(x, y), Q(x, y)) - em R² – ou T = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) - em R³ – tais que as funções P, Q e R tenham derivadas parciais no mesmo domínio do campo vetorial T, define-se como rotacional do campo vetorial T o campo escalar dado pela função:

     Que pode ser representado simbolicamente pelo “determinante”:

    Observação: se T(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j, seu rotacional será dado por:

     Uma aplicação física do rotacional de um campo vetorial é: se considerarmos um corpo sólido D que gira em torno de um eixo passando por um ponto 0 (daí o nome de rotacional), com velocidade angular w constante na coordenada (x, y, z). Estabelecendo um sistema de coordenadas tridimensionais, qualquer partícula situada nas vizinhanças de D tende a girarem torno do eixo de rotação de D. O comprimento do vetor rot(T) descrito na figura abaixo é a velocidade com que as partículas se movem ao redor desse eixo, e pode-se demonstrar que esse comprimento é dado pelas expressões acima dadas.

fig. 06: o rotacional

     Uma observação importante: se rot(T) = 0, dizemos que a partícula está livre de rotações na vizinhança de D, ou ainda, o campo descrito é irrotacional nesse ponto.




2.4     CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS

     Um campo vetorial é conservativo se existe f : A -> R tal que as derivadas parciais existam e F = grad(f). Doutro modo, F é conservativo se ele for um campo gradiente. A função f é chamada de função potencial de F. A obtenção dessa função potencial de F é um exercício simples de integração. Reconhecemos um campo conservativo F = (P(x, y), Q(x, y)) - em R² – ou F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) - em R³ por:

     Em suma, se ele obedecer as igualdades acima, o campo é conservativo.

Exemplo: F(x, y, z) = (e^ysen(z), xe^ysen(z), xe^ycos(z))

    Logo, F é conservativo, e uma função potencial para F é a função f(x, y, z) = xe^ysen(z) + C, com C constante. Deixo para o leitor a título de exercício a obtenção da função potencial de F. Esses campos são de extrema importância na física. Por exemplo, o campo gravitacional é um exemplo claro de um campo conservativo.


3.0   O USO DO GNUPLOT PARA A VISUALIZAÇÃO DE VETORES.


     Em um artigo anterior, mencionei que o comando necessário para a visualização de vetores simples no espaço é:
gnuplot> set arrow from x1,y1 to x2,y2
     Esse comando faz com que o programa plote na tela um vetor com origem no ponto (x1,y1) e extremidade em (x2,y2). Mais ainda: podemos plotar um vetor em R3, é só aplicar o comando:
gnuplot> set arrow from x1,y1,z1 to x2,y2,z2
     Agora você se pergunta: e como faço para visualizar esse vetor? Simples! Vamos fazer assim:
gnuplot> set grid
gnuplot> set xtics 1
gnuplot> set ytics 1
gnuplot> set xr[0:3]
gnuplot> set yr[0:3]
gnuplot> set arrow from 1,1 to 2,2
gnuplot> plot 0

fig. 07

     O que fizemos? Plotamos na tela a função y = 0, que corresponde ao nosso eixo das abscissas. Isso foi necessário pois o gnuplot não tem um comando para somente a visualização de vetores. Veja também no script acima que restringimos o domínio de visualização para o intervalo [0,3]x[0,3]. Foi necessário pois se caso não o fizéssemos poderia acontecer de não conseguirmos enxergar o vetor em sua integridade. Vejamos agora como procedemos para o R3. Vejas o exemplo:
gnuplot> set xr[0:6]
gnuplot> set yr[0:6]
gnuplot> set zr[0:6]
gnuplot> set border 4095         <<<<<<<<<<<<<<-----------  acrescenta bordas ao plano R3
gnuplot> set arrow from 1,1,1 to 2,5,4
gnuplot> splot 0

fig. 08

     Viu só como não é difícil? E temos mais opções! Experimente colocar a expressão 'nohead'! Por exemplo, no primeiro script:

gnuplot> set grid

gnuplot> set xtics 1

gnuplot> set ytics 1

gnuplot> set xr[0:3]

gnuplot> set yr[0:3]

gnuplot> set arrow from 1,1 to 2,2 nohead

gnuplot> plot 0

fig. 09

     O que aconteceu com a setinha? Sumiu! O comando 'nohead' serve para plotar um segmento de reta ao invés do vetor.
     Uma coisa de essencial importância é a função de dar 'nomes' aos vetores. Vamos supor: se por um acaso você estivesse trabalhando com vários vetores, e de repente quisesse apagar um deles, preservando os demais, como faria? Poderíamos usar a opção 'unset arrow', só que ao fazermos isso, apagamos todos os vetores que estão no plano, e assim teríamos um longo trabalho pela frente mais uma vez! Para contornar esse problema, vejamos como fazer: digamos que você tem que trabalhar com cinco vetores:
gnuplot> set grid
gnuplot> set xtics 1
gnuplot> set ytics 1
gnuplot> set xr[0:5]
gnuplot> set yr[0:5]
gnuplot> set arrow 1 from 1,1 to 2,2
gnuplot> set arrow 2 from 0,0 to 3,2
gnuplot> set arrow 3 from 2,2 to 3,4
gnuplot> set arrow 4 from 0,1 to 5,1
gnuplot> set arrow 5 from 4,4 to 2,0
gnuplot> plot 0

fig. 10

     Supomos agora que queremos deletar o vetor 5. Basta fechar o gráfico e em seguida digitar 'unset arrow 5' e pronto! O vetor 5 foi eliminado!

fig. 11

     Viu como é simples? Agora vamos aprender como fazemos para os campos vetoriais.




4.0  O USO DE GNUPLOT PARA VISUALIZAÇÃO DE CAMPOS VETORIAIS EM R².
     Inicialmente, para a obtenção de campos vetoriais, o usuário deve, entre outras coisas, criar um arquivo em modo de texto (tipo .txt) com uma quantidade de pontos (com três coordenadas) que fica a critério do usuário. Usei para este artigo um conjunto de 3100 pontos, porém uma quantidade de 100 ou 200 pontos é suficiente. Veja abaixo como deve ficar seu arquivo:

fig. 12

     No arquivo acima, vemos que tem linhas que tem um caractere #. A presença desse caractere faz com que gnuplot ignore aquela linha e faça a leitura da linha seguinte: o usuário pode-se utilizar desse recurso para fazer comentários. Cada linha que possui números representa um ponto do R³ (por exemplo, na 12ª linha temos o ponto (-8.9899, -10, -0.00737896)). A distância entre esses pontos pode ser mínima – gnuplot é muito inteligente, com um espaço mínimo ele reconhece aquela linha como um ponto no espaço; no arquivo, usei mais espaço apenas para fins didáticos. Daí, é só salvar seu conjunto de pontos em um diretório conveniente e de fácil localização – você pode, por exemplo, criar um diretório para esse fim. Os valores dos pontos ficam também a critério do usuário.

     Em seguida,com uma função F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) em mãos, digitamos no prompt de comando do gnuplot essas funções dadas P(x, y) e Q(x, y); para o campo definido por F(x, y) = (-sen(x), cos(y)), temos:

gnuplot> set zeroaxis

gnuplot> P(x,y) = -sin(x)

gnuplot> Q(x,y) = cos(y)

gnuplot>

     O comando set zeroaxis servirá para visualizarmos os eixos coordenados. Veja que definimos as duas funções P(x, y) e Q(x, y) em linhas diferentes. Definidas as duas funções que compõem nosso campo vetorial, vamos ao próximo comando:

gnuplot> plot'(caminho e nome do diretório)\campo vetorial.txt' using 1:2:(P($1,$2)):(Q($1,$2)) with vectors

     Explicando: plot serve para “plotar” (mostrar na tela, no caso, no plano R²) o campo vetorial; o arquivo deve estar (no caso do Windows, não sei se é assim com Linux ou outro sistema operacional) com o endereço completo; para facilitar, existe na barra de tarefas a opção plot -> datafilename... com essa opção, o usuário localiza o arquivo no diretório que está sendo usado e não precisa ficar quebrando a cabeça digitando o caminho completo do arquivo, o comando using 1:2:(P($1,$2)):(Q($1,$2)) definiu quais eixos seriam orientados com as funções P(x, y) e Q(x, y) – no caso o eixo x com a função P(x, y) e o eixo y com a função Q(x, y). Observe que foi usado $1 no lugar de x e $2 no lugar de y. A diferença é quase imperceptível, mas ao usar $1 e $2 faz com que os valores dados no campo vetorial sejam interpretados como variáveis. Veja o campo obtido:

fig. 13

      Se mudarmos as funções coordenadas para P(x,y) = x^2 + 5*x*y e Q(x,y) = arctan(x) + y, temos:

fig. 14

     Assim, podemos ter no gnuplot uma ótima ferramenta não apenas para o esboço do gráfico de funções, como também para o estudo de cálculo em campos vetoriais, e dessa forma tornar mais agradável e menos abstrato o estudo de um tema que é de vasta aplicação em matemática e física.

5.0    REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

•   Cálculo Integral Avançado/HELLMEISTER, Ana Catarina P.,BOUCHARA, Jacques C., CARRARA, Vera e SALVITTI, Reinaldo.et al. – 2ª ed. rev., 1 reimpr. – São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2006;
•      Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais duplas e triplas\ FLEMMING, Dra. Diva Maria e GONÇALVES, Dra. Mirian Buss – São Paulo: MAKRON books, 1999;

•  Cálculo volume III. Campos vetoriais/ VILCHE, Maurício A. e CORRÊA, Maria L. – publicado no site da UFRJ;
•     CRAWFORD, Dick. Gnuplot: an interactive plotting program. Disponível em:<http://www.gnuplot.info/docs/gnuplot.pdf>. Acesso em: 21 mar. 2008.

VISUALIZAÇÃO DE GRÁFICOS EM 3D USANDO O SOFTWARE 'GNUPLOT'

NOTA: É necessário que o leitor até aqui tenha um conhecimento do referido software; se quiser pode visualizar o arquivo http://profleonardomatematica.blogspot.com/2011_04_01_archive.html, que contém algumas instruções básicas a respeito do mesmo.

1.0   SUPERFÍCIES

       Para começar, grosso modo, podemos considerar o espaço R3 como sendo o conjunto de triplas ordenadas da forma (x, y, z), onde x, y e z são números pertencentes aos conjunto dos números reais.
       Intuitivamente, também temos a noção de superfície e de sólidos. Uma superfície seria então um objeto no espaço R3 que possua apenas área, enquanto sólido é um objeto em R3 que possua volume; para ilustrar bem o que tento dizer: pense em uma laranja :sua casca nos traduz agora a noção de superfície (embora seja um conceito bem grosseiro, já que superfície não tem espessura), e o conjunto interior do fruto - casca nos traduz a ideia de sólido. Para leitores mais familiarizados com cálculo diferencial, superfícies são objetos de dimensão 2 em R3, e  sólidos são objetos de dimensão 3 em R3.
       São exemplos de superfícies (todas elas desenhadas com o software gnuplot):

Exemplo 01: plano

Exemplo 02: calha

Exemplo 03: parabolóide

Exemplo 04: f(x, y) = ln(x^2 + y^2)

       Já deu para perceber bem que nem sempre a representação gráfica de funções de duas variáveis é algo simples, e as vezes é bem complicado! Existem vários métodos, alguns privilegiam curvas de nível dessa superfície, outros consideram a instersecção de planos com a superfície considerada, inclusive a intersecção desta mesma com os planos coordenados. Vamos então ao que nos interessa: como esboçar o gráfico de superfícies no espaço 3D?

2.0    COMANDOS NECESSÁRIOS PARA O ESBOÇO DE GRÁFICOS EM 3D:

       Abra o programa gnuplot, e no prompt de comando digite a seguinte função:
gnuplot> f(x,y) = x + y - 7
       Ao digitarmos o texto acima, acabamos de definir a função f(x,y). Para visualizarmos, faremos uso do comando splot:

gnuplot> splot f(x,y)
        Veja então o que aparece:

        O comando splot nada mais é do que o comando utilizado para gráficos em 3D. Quando digitamos "splot f(x,y)", o programa imediatamente mostrará o gráfico da função no espaço tridimensional. Vamos agora aprender a dar uma incrementada nesse gráfico. Se você fechar o gráfico e digitar o comando "set isosamples 80,80", e depois plotar o gráfico, o resultado será esse:

        A função do comando "set isosamples a,b" é melhorar a resolução do gráfico, fechar um pouco mais a malha utilizada para compô-lo. Se quisermos aumentar ainda mais a resolução do gráfico, basta digitar números maiores para 'a' e 'b', mas lembre-se que um gráfico com uma resolução muito grande pode demorar muito para ser processado, porém útil para serem enxergados mais detalhes; é como uma foto, no geral, melhor a resolução, maior a riqueza em detalhes.
        Outro comando bem interessante é o "set hidden3d"! Vejamos: digite no prompt de comando a opção "set hidden3d", tecle enter e em seguida plote o gráfico da função f(x,y) = 4 - x^2 - y^2, veja só:

      Esse comando tem uma função estética interessante: ele "esconde" a parte de trás do gráfico, dando a ele um aspecto sólido. Embora pareça uma coisa fútil, é bom lembrar que esse comando pode nos dar uma ajuda e tanto na hora de enxergarmos o gráfico de uma função qualquer tridimensional; veja os exemplos abaixo; em ambos está esboçado o gráfico da função f(x,y) = sin(x) + cos(y); veja e tire suas conclusões!

Sem o "hidden3d"

Com o "hidden3d". Olha a diferença!

        Bem interessante também é o comando set pm3d! Observe por exemplo como ficaria essa função acima com esse comando: no prompt de comando, digite "set pm3d" e tecle enter em seguida, depois peça para ele plotar o gráfico da função dada. Veja como fica:

        Interessante também relembrar que todas as opções que são válidas no modo 2D também são válidas no modo 3D, como por exemplo, set xtics, set ytics, set title, etc; agora podemos acrescentar a essa lista as opções "set zrange [a:b]", para definirmos um domínio em Oz; "set ztics 'a'", com 'a' sendo uma constante escalar, que define o tamanho dos intervalos de subdivisão do eixo Z e set zlabel "nome", para atribuirmos um "nome" ao eixo Oz.


3.0    VISUALIZANDO CURVAS DE NÍVEL EM GRÁFICOS 3D

      Curvas de nível são a projeção da intersecção de planos com o gráfico de uma função qualquer f(x,y) sobre o plano xy , sendo que elas são sempre subconjunto do domínio da função f(x,y) e possuem a  forma genérica f(x,y) = k, onde 'k' é uma constante escalar. São instrumentos bastante utilizados em engenharia,  meteorologia, termodinâmica, topografia, etc; em um mapa, pode indicar se determinado ponto tem altitude positiva ou negativa; em meteorologia servem para indicar se determinada região tem pluviosidade alta ou baixa, e assim vai! São instrumentos importantes na matemática, pois sua análise nos diz bastante coisa a respeito do comportamento de uma função.
       Para visualizarmos as curvas de nível usando gnuplot, faremos uso de um dos comandos:
01) set contour base
02) set contour surface
03) set contour both
       Mas como que eu vou saber qual utilizar? Calma! Vamos utilizar cada um de uma vez para que você possa compreender as diferenças, vantagens e desvantagens de cada um deles. Para começar, digite as linhas de comando abaixo:
gnuplot> set isosamples 30,60
gnuplot> set contour base
gnuplot> splot sin(x) + cos(y)
      E o gráfico:

    O comando "set contour base" projeta as curvas de nível da função abaixo do gráfico da mesma, dando esse aspecto aí observado no desenho, porém se você digitar agora "set contour surface", o resultado é esse:

     Viu só! Ele desenhou as curvas de nível na própria superfície! Seu uso é desvantajoso, pois dificulta um pouco a observação das curvas. E finalmente se escolhermos a opção "set contour both":

      Esse último comando simplesmente junta os outros dois anteriores, dando esse aspecto na visualização do gráfico!
      Importante também sabermos que podemos definir o intervalo entre duas curvas de nível, bem como restringi-las a um domínio específico. Para entendermos melhor, digite a seguinte linha de comando:
gnuplot> reset
gnuplot> set isosamples 30,60
gnuplot> set hidden3d
gnuplot> set contour base
gnuplot> set cntrparam levels incremental -2, 0.2, 2
gnuplot> splot sin(x) + cos(y)
      Eis o resultado:

      Explica-se: o comando "cntrparam levels incremental" serve para informar ao programa que você irá alterar o número de curvas de nível na função; os números das extremidades (-2 e 2) informam o intervalo no eixo z ao qual as curvas de nível estão restritas, e o número do meio (0.2) nos diz o intervalo entre duas curvas de nível consecutivas. Note que no gráfico ficou uma legenda muito extensa, informando as linhas utilizadas para todas as curvas de nível, nesse caso, como prejudica a visualização do gráfico, podemos digitar em seguida o comando "unset key":

4.0    O MODO PARAMETRIC

4.1    SUPERFÍCIES NA FORMA PARAMÉTRICA

No começo desse artigo definimos de uma maneira breve o conceito de superfície. De um modo geral, no estudo do cálculo vetorial em R³, consideramos de extrema importância o conceito de sólido e de superfície. De um modo intuitivo, dizemos que um sólido é um objeto em R³ que possua volume diferente de zero, ao passo que superfície possui área, porém em seu interior temos que o volume que ali se encontra é zero. De um modo mais formal e matemático, sólido é um objeto que possui dimensão 3 em R³ e superfície é um objeto de dimensão 2 em R³.

No nosso caso particular, consideraremos as superfícies. Uma superfície ‘S’ em R³ fica caracterizada como sendo um conjunto de pontos (uma aplicação) de R² em R³. Tais aplicações estão definidas por equações que são chamadas de equações paramétricas, e o conjunto de pontos gerados por essas equações é que dão origem à superfície, que fica conhecida por superfície paramétrica:

S(u,v)) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))                               

                   

  As funções x, y e z são também chamadas de funções coordenadas de S.

Uma outra maneira de se representar a equação de uma superfície paramétrica é usar a notação vetorial:

                                      S(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k      

Um exemplo de superfície paramétrica é o plano gerado pelas equações x(u, v) = u; y(u, v) = v e z(u, v) = 2u + 3 (*), que analiticamente falando corresponde ao plano z = 2x + 3:

Bom, para não perdermos o foco de nosso estudo, vamos ver como se faz para representarmos as superfícies na forma paramétrica usando o prompt de comando do gnuplot.


4.1    O MODO PARAMETRIC


No prompt de comando do gnuplot, digite "set parametric" e em seguida tecle enter:

Pronto! O programa agora está apto a trabalhar com objetos matemáticos na forma paramétrica! Veja que agora não utilizaremos as variáveis 'x' e 'y', e sim as variáveis 'u' e 'v' (e se você percebeu, devemos utilizar a variável 't' para representarmos curvas paramétricas). Agora, vamos ver um exemplo de como trabalharemos as superfícies na forma paramétrica. Pegue como exemplo o exemplo dado em (*). Depois de passar o programa para a forma paramétrica, digite:
gnuplot> splot u, v, 2*u + 3
Teclando enter:

Viu só como não é difícil!
Um outro exemplo: se quisermos representar em R3 uma superfície esférica de raio 2, podemos representa-la através da parametrização (2sen(u)cos(v), 2sen(u)sen(v),2cos(u)). No gnuplot, olha só como é que fica:
gnuplot> set parametric
gnuplot> set isosamples 30,50
gnuplot> set hidden3d
gnuplot> splot 2*sin(u)*cos(v), 2*sin(u)*sin(v), 2*cos(u)

Teste você também essas opções e aprimore seus conhecimentos a respeito desse programa.


5.0   REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

·        *  Stewart, James. Cálculo.Volume II , 5ª edição, Manchester University. Tradução Antônio Carlos Moretti e  Antônio Carlos Gilli Martins. Cencage Martins, São Paulo, 2006

·         * Mirian Buss Gonçalves, Dra. E Diva Maria Flemming, Dra. Cálculo C 3ª edição. Funções vetoriais, integrais curvilíneas e integrais de superfície. Makon Books do Brasil Ltda – São Paulo, 1991

·         * Cálculo volume III. Campos vetoriais/ VILCHE, Maurício A. e CORRÊA, Maria L. – publicado no site da UFRJ;

·         * Introdução ao uso do aplicativo gnuplot; Galo, Maurício. Editora da UNESP, Presidente Prudente, 2003

·         *Steinbruch, Alfredo e Winterle, Paulo. Geometria analítica, 2ª Ed. – São Paulo : McGraw-Hill, 1987

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