CAMPOS VETORIAIS EM R2 E R3 SUA VISUALIZAÇÃO NO R2 COM GNUPLOT

     Neste artigo iremos abordar brevemente um pouco da dinâmica dos campos vetoriais e sua visualização com o aplicativo gnuplot. É necessário que o leitor tenha certa familiaridade com o aplicativo e com conceitos de cálculo diferencial aplicado a campos vetoriais.


1.0   O QUE É MESMO UM VETOR?


     Vetor, fisicamente falando, é uma forma matemática de representar entidades físicas que possuem mais de uma característica em sua descrição. Por exemplo, quando você está no seu carro a 60 km/h, você percebe que ela tem uma intensidade (um valor), uma direção e um sentido (não confunda direção e sentido, são conceitos diferentes! Por exemplo, quando você percorre a rua que vai ao seu colégio (direção), você pode percorrer o sentido casa-colégio ou colégio-casa.). Todas as chamadas grandezas físicas podem ser chamadas de grandezas vetoriais se elas possuírem essas três características: módulo, direção e sentido. Exemplos de grandezas assim: a força, a própria velocidade, a aceleração, o deslocamento, etc.
     Na matemática, um vetor é representado através de uma seta orientado para a direção de seu sentido. E vetores também podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados por um número ou mesmo ter seu sentido invertido(quando o multiplicamos por -1), e essas operações obedecem: comutatividade,  associatividade e distributividade. A multiplicação de um número (ou a divisão) por um vetor altera sua intensidade, podendo torná-la mais ou menos intensa (geralmente a esse número damos o nome de escalar).

fig. 01:vetor no plano cartesiano.

fig. 02: vetor em R3.

fig. 03: a base canônica (i, j, k)

2.0   O CAMPO VETORIAL

Diariamente, temos “contatos” com campos vetoriais, muitas vezes de forma inconsciente e a maioria das pessoas não sabe disso. Exemplos:

i) Quando você abre sua torneira para lavas suas mãos, cada molécula de água que está dentro daquela tubulação possui certa velocidade, caminha em certa direção e segue certo sentido; se o fluxo de água nessa torneira se mantiver constante, estaremos diante de um campo vetorial cujos vetores estarão associados à velocidade do líquido naquela tubulação:

fig.04: secção de um fio

ii) Da mesma forma um fio elétrico possui carga elétrica que o percorre em toda extensão com certa velocidade elevada e possui um certo sentido e fluxo constante pode ser associado a um campo vetorial semelhante ao da tubulação de água;

iii) Uma panela quente que perde calor para o meio externo pode também ser associada a um campo vetorial: se considerarmos a forma que o calor flui ( de fora para dentro; do ambiente mais quente para o ambiente mais frio) teremos um campo de vetores bem definido:

fig.05: fluxo de calor em uma panela

     Uma definição matemática de campos vetoriais é:

“Um campo de vetores em A C Rⁿ é uma função F: A C Rⁿ  Rⁿ”

     Assim, em relação ao referencial do R² (i, j) ou o referencial do R³ (i, j, k) a função que define o campo terá por expressão: F(x, y) = [P(x, y), Q(x, y)] ou ainda F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j no caso do R² ou F(x, y, z) = [P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] ou ainda F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k no caso de ser um campo no R³. Assim, um campo vetorial fica determinado pelas funções P, Q ou R definidas no domínio 'A' a valores reais. Essas funções são chamadas de funções componentes do campo vetorial .

      Dizemos ainda que um campo vetorial é contínuo e de classe C^k (uma função é de classe C^k se suas derivadas até a ordem k são contínuas) se suas funções componentes P, Q (para o R²) ou P, Q, R (para o R³) também forem de classe C^k.

      A partir de um campo dado, podem-se obter novos campos que fornecem informações sobre o campo original, sendo os exemplos mais conhecidos: o campo gradiente, o campo divergente e o campo rotacional, que iremos ver as motivações das existências dos mesmos a seguir.


2.1    O CAMPO VETORIAL GRADIENTE


     Um campo vetorial gradiente é aquele campo que está definido em um subconjunto aberto A do R² (ou do R³) de tal forma que, para cada ponto P de um certo campo vetorial T definido em R² (ou R³) ele associa o vetor ( dT/dX, dT/dY) - no caso de T ser do R² – ou (dT/dX, dT/dY, dT/dZ) - no caso de T ser do R³ – denotamos o gradiente de um campo vetorial por:

     Outra notação usada para o gradiente é a representada abaixo:

     Uma justificativa física do gradiente é para calcular a taxa de variação de um fluxo qualquer de um ponto P de um campo definido em um domínio A por uma função T na direção de um vetor v. Se a função T que forma o campo é diferenciável, então ela admite derivadas parciais em P, então a derivada direcional de T, relativa a  em P é:

     O que motivou a definição de gradiente dada acima.




2.2     O CAMPO VETORIAL DIVERGENTE


     Definição: dado um campo vetorial T = (P(x, y), Q(x, y)) - em R² – ou T = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) - em R³ – tais que as funções P, Q e R tenham derivadas parciais no mesmo domínio do campo vetorial T, define-se como divergente do campo vetorial T o campo escalar dado pela função:

Ou ainda

     Note que  é dado por um produto escalar, o que implica o não aparecimento dos vetores da base canônica.

     Uma interpretação física do divergente é para o cálculo da variação de volume de um fluido que escoa por um canal com certa velocidade. Se a função  = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k contida em um domínio D do R³ representa a velocidade do fluido em certo ponto (x, y, z); A um ponto pertencente ao mesmo domínio aberto D do R³ e se tomarmos um paralelepípedo com um vértice em A e de arestas , pode-se provar que a variação do volume do líquido em determinada unidade de tempo é dada por:

     A interpretação dada pelo exemplo anterior não é única. Na física, ele é aplicado em diversas áreas como eletricidade e magnetismo, gravitação etc. O divergente é muito estudado em Teorema da Divergência de Gauss.


2.3     ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL


     Definição: dado um campo vetorial T = (P(x, y), Q(x, y)) - em R² – ou T = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) - em R³ – tais que as funções P, Q e R tenham derivadas parciais no mesmo domínio do campo vetorial T, define-se como rotacional do campo vetorial T o campo escalar dado pela função:

     Que pode ser representado simbolicamente pelo “determinante”:

    Observação: se T(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j, seu rotacional será dado por:

     Uma aplicação física do rotacional de um campo vetorial é: se considerarmos um corpo sólido D que gira em torno de um eixo passando por um ponto 0 (daí o nome de rotacional), com velocidade angular w constante na coordenada (x, y, z). Estabelecendo um sistema de coordenadas tridimensionais, qualquer partícula situada nas vizinhanças de D tende a girarem torno do eixo de rotação de D. O comprimento do vetor rot(T) descrito na figura abaixo é a velocidade com que as partículas se movem ao redor desse eixo, e pode-se demonstrar que esse comprimento é dado pelas expressões acima dadas.

fig. 06: o rotacional

     Uma observação importante: se rot(T) = 0, dizemos que a partícula está livre de rotações na vizinhança de D, ou ainda, o campo descrito é irrotacional nesse ponto.




2.4     CAMPOS VETORIAIS CONSERVATIVOS

     Um campo vetorial é conservativo se existe f : A -> R tal que as derivadas parciais existam e F = grad(f). Doutro modo, F é conservativo se ele for um campo gradiente. A função f é chamada de função potencial de F. A obtenção dessa função potencial de F é um exercício simples de integração. Reconhecemos um campo conservativo F = (P(x, y), Q(x, y)) - em R² – ou F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) - em R³ por:

     Em suma, se ele obedecer as igualdades acima, o campo é conservativo.

Exemplo: F(x, y, z) = (e^ysen(z), xe^ysen(z), xe^ycos(z))

    Logo, F é conservativo, e uma função potencial para F é a função f(x, y, z) = xe^ysen(z) + C, com C constante. Deixo para o leitor a título de exercício a obtenção da função potencial de F. Esses campos são de extrema importância na física. Por exemplo, o campo gravitacional é um exemplo claro de um campo conservativo.


3.0   O USO DO GNUPLOT PARA A VISUALIZAÇÃO DE VETORES.


     Em um artigo anterior, mencionei que o comando necessário para a visualização de vetores simples no espaço é:
gnuplot> set arrow from x1,y1 to x2,y2
     Esse comando faz com que o programa plote na tela um vetor com origem no ponto (x1,y1) e extremidade em (x2,y2). Mais ainda: podemos plotar um vetor em R3, é só aplicar o comando:
gnuplot> set arrow from x1,y1,z1 to x2,y2,z2
     Agora você se pergunta: e como faço para visualizar esse vetor? Simples! Vamos fazer assim:
gnuplot> set grid
gnuplot> set xtics 1
gnuplot> set ytics 1
gnuplot> set xr[0:3]
gnuplot> set yr[0:3]
gnuplot> set arrow from 1,1 to 2,2
gnuplot> plot 0

fig. 07

     O que fizemos? Plotamos na tela a função y = 0, que corresponde ao nosso eixo das abscissas. Isso foi necessário pois o gnuplot não tem um comando para somente a visualização de vetores. Veja também no script acima que restringimos o domínio de visualização para o intervalo [0,3]x[0,3]. Foi necessário pois se caso não o fizéssemos poderia acontecer de não conseguirmos enxergar o vetor em sua integridade. Vejamos agora como procedemos para o R3. Vejas o exemplo:
gnuplot> set xr[0:6]
gnuplot> set yr[0:6]
gnuplot> set zr[0:6]
gnuplot> set border 4095         <<<<<<<<<<<<<<-----------  acrescenta bordas ao plano R3
gnuplot> set arrow from 1,1,1 to 2,5,4
gnuplot> splot 0

fig. 08

     Viu só como não é difícil? E temos mais opções! Experimente colocar a expressão 'nohead'! Por exemplo, no primeiro script:

gnuplot> set grid

gnuplot> set xtics 1

gnuplot> set ytics 1

gnuplot> set xr[0:3]

gnuplot> set yr[0:3]

gnuplot> set arrow from 1,1 to 2,2 nohead

gnuplot> plot 0

fig. 09

     O que aconteceu com a setinha? Sumiu! O comando 'nohead' serve para plotar um segmento de reta ao invés do vetor.
     Uma coisa de essencial importância é a função de dar 'nomes' aos vetores. Vamos supor: se por um acaso você estivesse trabalhando com vários vetores, e de repente quisesse apagar um deles, preservando os demais, como faria? Poderíamos usar a opção 'unset arrow', só que ao fazermos isso, apagamos todos os vetores que estão no plano, e assim teríamos um longo trabalho pela frente mais uma vez! Para contornar esse problema, vejamos como fazer: digamos que você tem que trabalhar com cinco vetores:
gnuplot> set grid
gnuplot> set xtics 1
gnuplot> set ytics 1
gnuplot> set xr[0:5]
gnuplot> set yr[0:5]
gnuplot> set arrow 1 from 1,1 to 2,2
gnuplot> set arrow 2 from 0,0 to 3,2
gnuplot> set arrow 3 from 2,2 to 3,4
gnuplot> set arrow 4 from 0,1 to 5,1
gnuplot> set arrow 5 from 4,4 to 2,0
gnuplot> plot 0

fig. 10

     Supomos agora que queremos deletar o vetor 5. Basta fechar o gráfico e em seguida digitar 'unset arrow 5' e pronto! O vetor 5 foi eliminado!

fig. 11

     Viu como é simples? Agora vamos aprender como fazemos para os campos vetoriais.




4.0  O USO DE GNUPLOT PARA VISUALIZAÇÃO DE CAMPOS VETORIAIS EM R².
     Inicialmente, para a obtenção de campos vetoriais, o usuário deve, entre outras coisas, criar um arquivo em modo de texto (tipo .txt) com uma quantidade de pontos (com três coordenadas) que fica a critério do usuário. Usei para este artigo um conjunto de 3100 pontos, porém uma quantidade de 100 ou 200 pontos é suficiente. Veja abaixo como deve ficar seu arquivo:

fig. 12

     No arquivo acima, vemos que tem linhas que tem um caractere #. A presença desse caractere faz com que gnuplot ignore aquela linha e faça a leitura da linha seguinte: o usuário pode-se utilizar desse recurso para fazer comentários. Cada linha que possui números representa um ponto do R³ (por exemplo, na 12ª linha temos o ponto (-8.9899, -10, -0.00737896)). A distância entre esses pontos pode ser mínima – gnuplot é muito inteligente, com um espaço mínimo ele reconhece aquela linha como um ponto no espaço; no arquivo, usei mais espaço apenas para fins didáticos. Daí, é só salvar seu conjunto de pontos em um diretório conveniente e de fácil localização – você pode, por exemplo, criar um diretório para esse fim. Os valores dos pontos ficam também a critério do usuário.

     Em seguida,com uma função F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) em mãos, digitamos no prompt de comando do gnuplot essas funções dadas P(x, y) e Q(x, y); para o campo definido por F(x, y) = (-sen(x), cos(y)), temos:

gnuplot> set zeroaxis

gnuplot> P(x,y) = -sin(x)

gnuplot> Q(x,y) = cos(y)

gnuplot>

     O comando set zeroaxis servirá para visualizarmos os eixos coordenados. Veja que definimos as duas funções P(x, y) e Q(x, y) em linhas diferentes. Definidas as duas funções que compõem nosso campo vetorial, vamos ao próximo comando:

gnuplot> plot'(caminho e nome do diretório)\campo vetorial.txt' using 1:2:(P($1,$2)):(Q($1,$2)) with vectors

     Explicando: plot serve para “plotar” (mostrar na tela, no caso, no plano R²) o campo vetorial; o arquivo deve estar (no caso do Windows, não sei se é assim com Linux ou outro sistema operacional) com o endereço completo; para facilitar, existe na barra de tarefas a opção plot -> datafilename... com essa opção, o usuário localiza o arquivo no diretório que está sendo usado e não precisa ficar quebrando a cabeça digitando o caminho completo do arquivo, o comando using 1:2:(P($1,$2)):(Q($1,$2)) definiu quais eixos seriam orientados com as funções P(x, y) e Q(x, y) – no caso o eixo x com a função P(x, y) e o eixo y com a função Q(x, y). Observe que foi usado $1 no lugar de x e $2 no lugar de y. A diferença é quase imperceptível, mas ao usar $1 e $2 faz com que os valores dados no campo vetorial sejam interpretados como variáveis. Veja o campo obtido:

fig. 13

      Se mudarmos as funções coordenadas para P(x,y) = x^2 + 5*x*y e Q(x,y) = arctan(x) + y, temos:

fig. 14

     Assim, podemos ter no gnuplot uma ótima ferramenta não apenas para o esboço do gráfico de funções, como também para o estudo de cálculo em campos vetoriais, e dessa forma tornar mais agradável e menos abstrato o estudo de um tema que é de vasta aplicação em matemática e física.

5.0    REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

•   Cálculo Integral Avançado/HELLMEISTER, Ana Catarina P.,BOUCHARA, Jacques C., CARRARA, Vera e SALVITTI, Reinaldo.et al. – 2ª ed. rev., 1 reimpr. – São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2006;
•      Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais duplas e triplas\ FLEMMING, Dra. Diva Maria e GONÇALVES, Dra. Mirian Buss – São Paulo: MAKRON books, 1999;

•  Cálculo volume III. Campos vetoriais/ VILCHE, Maurício A. e CORRÊA, Maria L. – publicado no site da UFRJ;
•     CRAWFORD, Dick. Gnuplot: an interactive plotting program. Disponível em:<http://www.gnuplot.info/docs/gnuplot.pdf>. Acesso em: 21 mar. 2008.