Matemática é para todos!: abril 2011

1.0 INTRODUÇÃO:
   A tecnologia é algo cada vez mais presente em nosso cotidiano e presente em diversas áreas do conhecimento humano, e quando aliada ao processo de ensino e aprendizagem, torna-o mais dinâmico e eficiente, aliando aprendizagem ao entretenimento. E na matemática não poderia ser diferente: diversos programas em diversas áreas nos oferecem outros meios de facilitar a assimilação de conteúdos.
   Todos os estudantes, em algum momento de sua vida estudantil, se deparam com o conceito de função, inicialmente a constante, a de 1° e 2° grau, e mais a frente as funções trigonométricas. É de fato um conceito belíssimo, e o que chama muito mesmo a atenção é o fato de toda função possuir gráfico. E os gráficos possibilitam a todos o entendimento do comportamento da função em diversos aspectos, como por exemplo: domínio, imagem, pontos de máximo e mínimo e etc. E não é só em funções que os gráficos são utilizados: por exemplo, na área de estatística,com seus gráficos de barras, linhas e de setores, e tampouco ficam restritos somente na matemática: encontramos aplicações nas áreas de geografia, economia, biologia, agronomia, enfim! São instrumentos poderosos e que facilitam a visualização de variações de grandezas numéricas e a compreensão das mesmas.
   Quanto ao gráfico de funções, surge uma indagação feita por boa parte dos estudantes: existe um meio computacional de ser gerado gráficos de funções? Sim, existe. E vários softwares fazem isso. Nesse nosso estudo, iremos destacar o software gnuplot* e alguns de seus comandos mais básicos na visualização de gráficos de funções. É um programa de interface simples, trabalhado através de comandos, em língua inglesa, o que a princípio pode dificultar um pouco o aprendizado a primeira vista, mas depois o usuário não sentirá mais dificuldade e ela tende a desaparecer. É importante também destacar que o gnuplot é uma espécie de calculadora científica com capacidade gráfica. O software pode ser baixado através do site: www.gnuplot.info. (*gnuplot se escreve mesmo com 'g' minúsculo, de acordo com seus idealizadores).
   Depois de o usuário baixar o programa, que vem em uma pasta, basta abrir a pasta e clicar no ícone "wgnuplot" :

E em seguida, abre a janela abaixo:

É nesta tela (chamada prompt) que inserimos os comandos necessários à visualização de gráficos. Além dos comandos, é necessário conhecermos alguns operadores aritméticos úteis:

Adição: +
Subtração: -
Multiplicação: *
Divisão: /
Potência: **
Resto de uma divisão: %. Exemplo:

gnuplot> print 95%10

gnuplot> 5

Fatorial: !

Uma observação útil! Ao inserirmos um número, o programa interpreta-o como sendo um número inteiro. Se fôssemos calcular 5/4, do jeito que escrevemos agora, o programa ia dar como resposta o número 1. Isto aconteceu porque 1 é a parte inteira da divisão de 5 por 4. Se quisermos obter 1.25, teremos que digitar 5.0/4 ou 5/4.0 (a presença do '.0' indica ao programa que se trata de um número real, e portanto a resposta será um número real, com suas casas decimais):

gnuplot> 5/4.0

gnuplot> 1.25

Vamos agora conhecer alguns comandos:

PRINT: Mostra na tela valores calculados através do próprio programa. Vejamos, se digitarmos no prompt e em seguida pressionarmos 'enter':

gnuplot> print 5*4 + 10

gnuplot> 30

Uma outra forma de aplicar calculando valores de funções seria:

gnuplot> f(x) = x**2 - 5*x + 6

gnuplot> print f(6)

gnuplot> 12

SQRT: Calcula a raiz quadrada de um número. Exemplo:

gnuplot> print sqrt(9)

gnuplot: 3

PLOT: Mostra na tela o gráfico de uma função em 2D;

SPLOT: Mostra na tela o gráfico de uma função em 3D;

SET: Permite exibir no programa funções/reajustes no gráfico a ser exibido. Os principais são:

SET XRANGE: Insere o domínio no eixo x;

SET YRANGE: Insere domínio no eixo y;

SET ZEROAXIS: Exibe os eixos coordenados;

SET TITLE: Insere um título no gráfico;

SET KEY LEFT BOTTOM: Coloca a legenda no canto inferior esquerdo;

SET KEY RIGHT BOTTOM: Coloca a legenda no canto inferior direito;

SET KEY LEFT TOP: Coloca a legenda no canto superior esquerdo;

SET KEY RIGHT TOP: Coloca a legenda no canto superior direito;

SET KEY OUTSIDE: Coloca a legenda fora da área do gráfico;

SET KEY BELLOW: Coloca a legenda fora e abaixo;

SET KEY BOX: Coloca caixa na legenda;

SET XLABEL: Insere um título no eixo x;

SET YLABEL: Insere um título no eixo y;

SET XTICS: Define o tamanho do intervalo no eixo x;

SET YTICS: Define o tamanho do intervalo usado no eixo y;

SET HIDDEN3D: "Esconde" a parte de trás de um gráfico em 3D, dando um efeito

SET SAMPLES: Aumenta/diminui a quantidade de pontos usados para construir um gráfico 2D;

SET ISOSAMPLES: Aumenta/diminui a quantidade de pontos usados para construir um gráfico em 3D;

SET CONTOUR BASE: Exibe as curvas de nível abaixo do gráfico de uma superfície;

SET CONTOUR SURFACE: Exibe as curvas de nível na própria superfície;
SET ARROW FROM 'A' TO 'B' : Desenha um vetor na tela com origem em A e extremidade em B.
Ainda temos outras opções de comandos combinados com o SET, que veremos ao longo do artigo.

UNSET: Desfaz a operação 'set' feira pelo usuário;

HELP: Exibe menus de ajuda ao usuário;

RESET: Limpa todas as configurações ativadas pelo usuário;

EXIT: Sair do programa.

2.0 VISUALIZANDO UM GRÁFICO:

Vamos ao que nos interessa! Para visualizarmos o gráfico de uma função em 2D, basta utilizarmos 'plot função'. Por exemplo: se quisermos visualizar o gráfico da função f(x) = 2x - 7, basta fazer:

gnuplot> plot 2*x - 7

E o resultado:

Nota: poderíamos também fazer dessa maneira:

gnuplot> f(x) = 2*x - 7

gnuplot: plot f(x)

Podemos incrementar ainda mais nosso gráfico. Digitemos então o seguinte script:

gnuplot> set zeroaxis .......................................... mostra os eixos coordenados

gnuplot> set grid ................................................. mostra a tela dividida em grade

gnuplot> set title "Função de primeiro grau" ......... define o título do gráfico

gnuplot> set xlabel "Eixo X" .................................nomeia o eixo dos 'x'

gnuplot> set ylabel "Eixo Y" .................................nomeia o eixo dos 'y'

gnuplot> set xtics 1 ............................................define o tamanho do intervalo usado no eixo 'x'

gnuplot> set ytics 1 .............................................define o tamanho do intervalo no eixo 'y'

gnuplot> plot 2*x - 7

E o resultado:

Note que, em meio a essa malha toda, ficou difícil de visualizar os eixos coordenados, mas é possível mudar essa situação aplicando uma cor diferente da malha do plano. Façamos isso: feche o gráfico (mas não o prompt!) e no próprio prompt digite:

gnuplot> set zeroaxis 2

gnuplot> plot 2*x - 7

Teclando enter em seguida, o gráfico fica com o aspecto abaixo:

Veja que os eixos coordenados ficaram com a cor verde. Isso aconteceu porque você acrescentou ao lado do comando set zeroaxis o número 2. É ele que indica ao programa a cor que deve ficar os eixos coordenados. Uma maneira de você visualizar todas as opções disponíveis é digitar a palavra test no prompt de comandos e teclar enter. Irá aparecer a tela abaixo:

Uma melhor olhada no desenho (no canto direito) permite você identificar a cor verde associada ao número 2 que colocamos ao lado do comando. Podemos também mudar o estilo da linha do gráfico! Se você olhar o canto inferior esquerdo da tela "test", aparece várias espessuras de linha (o linewidth). Faça disso: digite plot 2*x - 7 lw 3, e veja o que acontece:

O comando lw 3 permite que você altere a espessura da linha que desenha o gráfico da função. Veja na tela test que você tem seis opções de espessura de linha (do 1 até o 6).

Vamos ver então outras opções. Feche o gráfico, e no prompt digite plot 2*x - 7 with boxes, e observe:

Veja agora o que acontece quando inserimos o comando plot 2*x - 7 with points 3:

O gráfico deixa de ser desenhado por uma linha e passa a ser desenhado por um conjunto de pontos (descritos na tela test). E veja agora se digitarmos o comando plot 2*x - 7 with linespoint 7:

Enfim! Deu para perceber que o programa tem várias opções de incrementar gráficos, mas não é só para isso que ele serve não! Com ele dá para enxergarmos em uma função algo como suas possíveis raízes reais, exatas ou aproximadas, seu valor máximo ou mínimo e ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas (quando houver). Vamos lá! Digite no gnuplot o script abaixo:

gnuplot> reset

gnuplot> set zeroaxis 2

gnuplot> set grid

gnuplot> set xtics 1

gnuplot> set ytics 1

gnuplot> set title "Função de segundo grau"

gnuplot> set xlabel "Eixo X"

gnuplot> set ylabel "Eixo Y"

gnuplot> f(x) = x**2 - 5*x + 6

gnuplot> plot f(x)

Deu para perceber que, do jeito que está aí fica um pouco confuso de entender o comportamento dessa função. Isso porque o programa ajusta o gráfico de acordo com o tamanho de sua tela, o que é conhecido por default. Por isso, vamos aprender a restringi-la a um domínio específico. Para isso, feche o gráfico e digite no script os seguintes comandos:

gnuplot> set xrange [-1:5]

gnuplot> set yrange [-1:7]

Explicando: o comando set xrange [-1:5] permite que você veja a função no eixo x somente no intervalo [-1:5], assim como o comando set yrange [-1:7] restringe a visualização do eixo das ordenadas ao intervalo [-1:7]. E bom saber que esses comandos podem ser abreviados respectivamente para set xr e set yr. Tecle enter e veja o que acontece:

Observando o desenho, você percebe que:

i) O gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima (a = 1 > 0);

ii) As raízes da função são os números 2 e 3 (ponto onde o gráfico corta o eixo x: f(x) = 0);

iii) O gráfico intercepta o eixo y no ponto y = 6 (é só fazer x = 0);

iv) A função tem um ponto mínimo, e ele está entre 2 e 3 (Faça as contas! Você descobre que o ponto mínimo é Yv = -0.25 e isso acontece quando Xv = 2,5).

Viu só? Vejamos outro exemplo. No mesmo script anterior, digite:

gnuplot> set title "Sistema de equações"

gnuplot> f(x) = x - 1

gnuplot: g(x) = (13 - 3*x)/2.0

gnuplot> plot f(x), g(x)

Teclando enter: