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terça-feira, 13 de setembro de 2011

QUESTÃO DESAFIO 02!

Bom dia!
Achei essa questão no volume 31 da revista Eureka. Achei interessante e por isso resolvi postá-la para vocês:


Caso resolvê-la, mande a solução via comentários.

Boa sorte!

Um comentário:

Anônimo disse...

Olá, uma solução para o problema é notar que 1897 = 7*271.

Assim só precisamos mostrar que a soma é divisível por 7 e por 271.

Observe que:

1) 2903 ~ 803 (mod 7) e 464 ~ 261 (mod 7)

Portanto, 2903^n - 803^n ~ 0 (mod 7) e 261^n - 464^n ~ 0 (mod 7), para todo n natural.

O que implica que a soma deixa resto 1 quando divida por 7.


2) 2903 ~ 464 (mod 271) e
261 ~ 803 (mod 271)

Logo, 2903 - 464 ~ 0 (mod 271) e 261 - 803 ~ 0 (mod 271), para todo n natural.

O que implica que a soma deixa resto 0 quando divida por 271.


Concluímos assim que a soma é múltipla de 7 e 271, como mdc(7,271)=1, segue que a soma múltipla de 7*271 = 1897. Que é o que queriamos mostrar.

OBS: ( ~ ) representa o símbolo de congruência.

Abraços,
Pablo Almeida