QUESTÃO DESAFIO - ANÁLISE COMBINATÓRIA - CHINA/1987

Boa tarde!

Essa questão também acheio interessantíssima! Envolve muito raciocínio e lógica! Tentem, se conseguir, publiquem suas soluções por comentários!

"Em um torneio, cada dois jogadores jogam uma vez entre si. Não há empates. Um jogador A recebe um prêmio, se, para cada outro jogador B, ou A ganhou de B ou A ganhou de algum C que ganhou de B. Prove que se só um jogador recebeu um prêmio, ele deve ter vencido todos os outros."

Boa sorte!

QUESTÃO DESAFIO - ÁLGEBRA (EUA/74)

Boa noite!
Essa questão tirei de uma olimpíada que houve no EUA em 1974, e é bem desafiante! Envolve um bom conhecimento de álgebra e porque não, criatividade? Veja:

"Sejam a, b, c três inteiros distintos e P(x) um polinômio com coeficientes inteiros. Mostre que é impossível termos P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a."

Tentem resolvê-la e caso consigam mandem a resposta via comentários.

Abraço a todos!

Escolas privilegiam alfabetização do que o ensino da matemática, avalia secretária do MEC.

Governo tenta justificar resultado ruim de alunos do ensino fundamental na disciplina

A secretária de Educação Básica do MEC (Ministério da Educação), Maria do Pilar Lacerda, tentou justificar em Agosto o resultado da Prova ABC, que mostrou que os alunos do 3° ano do ensino fundamental têm mais dificuldade em matemática do que em leitura. 

De acordo com a avaliação, aplicada a 6.000 estudantes, de escolas públicas e privadas, das 27 capitais, apenas 42% dominam a adição e a subtração e conseguem solucionar problemas envolvendo, por exemplo, notas e moedas.

Para a secretária, nos últimos anos os governos municipais, estaduais e federal, além das próprias escolas, focaram mais a questão da alfabetização nos primeiros anos do ensino fundamental, quando 56% têm o domínio adequado da leitura, o que pode explicar o resultado inferior em matemática.

- O diagnóstico tem que ser olhado com muito cuidado, e tem que servir para iluminar as nossas políticas. Em relação a matemática, é como se ele fosse um sinal laranja.

A Prova ABC é uma iniciativa do movimento Todos Pela Educação, do Instituto Paulo Montenegro/Ibope, da Fundação Cesgranrio e do Inep (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais). 

O objetivo é aferir o nível de aprendizado das crianças no início da vida escolar, após os três primeiros anos de estudo. Do total de alunos participantes, mais de 40% não têm o aprendizado em leitura esperado para esta fase, ou seja, que não dominam bem atividades como localizar informações em um texto ou o tema de uma narrativa. Em matemática, 57% teve desempenho abaixo do adequado.

O Ministério da Educação (MEC) só avalia os estudantes a partir do 5º ano do ensino fundamental. Antes desta fase, o único instrumento que existe para aferir o nível de aprendizado dos alunos é a Provinha Brasil, exame que é aplicado pelo próprio professor e serve para que ele possa saber como está o desenvolvimento dos seus alunos. Os resultados não são divulgados. Até o ano passado, a Provinha Brasil avaliava apenas os conteúdos de português e, a partir de 2011, a matemática foi inserida. 

A própria secretária admite que agora é necessário aprofundar as ações em relação a matemática, especialmente a formação dos professores.

- O que a gente enxerga é que todos os nosso programas relacionados à alfabetização e à leitura estão efetivamente dando resultado. Sabemos que esse resultado [superior em leitura do que em matemática] tem relação com a Provinha Brasil, os programas de literatura infantil e o Pró-Letramento que tem formado muitos professores na área de alfabetização. 

As notas da Prova ABC também tiveram grande variação para mais entre os participantes das escolas particulares em comparação com os da rede pública. Em leitura, a média dos alunos das escolas públicas foi 175,8 pontos contra 216,7 entre os da rede privada. 

As habilidades dos estudantes com os números também foi superior na rede privada, cuja média foi 211,2 pontos contra 158 na pública. Para Pilar Lacerda, o resultado está ligado à condição socioeconômica dos alunos.

- São as crianças de famílias menos escolarizadas que têm mais dificuldade na aquisição da literatura e desses conhecimentos. A escola faz a diferença quando consegue garantir a aprendizagem mesmo para quem não vem com essa bagagem de casa. Os alunos das escolas particulares ganham livro quando são bebês, têm o hábito de ouvir histórias desde pequenos. A escola tem que fazer esse papel que a gente chama de “efeito escola.

Fonte: portal R7

Que tal fazer matemática?

Profissional pode dar aulas ou trabalhar em empresas e mercado financeiro. 
Carreira exige facilidade com números e operações complexas.

Se você gosta de fazer contas e é bom com números, cursar uma faculdade de matemática pode ser uma excelente opção. Com possibilidade de atuação em diferentes áreas, o profissional está habilitado a trabalhar em universidades e centros de pesquisa, desenvolvendo novos modelos matemáticos, ou em empresas, com a criação de métodos numéricos e análise de dados do mercado financeiro.

Mas não basta só gostar de matemática para ingressar na carreira. Antes de optar pelo curso, é preciso ter em mente que as aulas não são nada fáceis. Já no ciclo básico de estudos o aluno terá diversas disciplinas de cálculo, álgebra, geometria, além de probabilidade, estatística e computação.

De acordo com o matemático Andrew Woods, a graduação em matemática é muito abrangente e, por isso, dá uma boa base para qualquer tipo de emprego que requer um raciocínio quantitativo. “A matemática abre muitas portas para o jovem como profissional”, ressalta.

O profissional formado em matemática pode seguir dois caminhos. Ao fazer os cursos de licenciatura em matemática e se tornar professor. Ele vai poder atuar em escolas e universidades e, se aprofundando mais no assunto, pode se tornar pesquisador.

O outro caminho é o de trabalhar com empresas. Algumas universidades dão curso de bacharelado em matemática com ênfase em assuntos específicos. A USP, por exemplo, tem matemática aplicada a negócios, matemática com habilitação em ciências biológicas, controle de automação, métodos matemáticos, sistemas e controle, ou cursos de matemática aplicada e computacional com habilitação em estatística econômica, saúde pública, comunicação científica, entre outros.

Andrew se formou em matemática pela PUC-Rio. Para se especializar na área de finanças, Ele trabalha em uma empresa privada de investimentos no Rio de Janeiro e tem uma rotina intensa de contas e cálculos, faz mestrado três vezes por semana.

“É muito importante fazer uma pós-graduação, mestrado, ou até mesmo doutorado para quem cursa a faculdade de matemática e quer trabalhar em áreas mais específicas e especialmente para o aluno que quer seguir uma carreira acadêmica”.

Matemática pura x matemática aplicada
O professor Marco Aurélio Cabral, do Instituto de Matemática da UFRJ, afirma que, quem quer se tornar matemático, deve gostar da matéria e de desafios intelectuais. Segundo ele, além da licenciatura, o aluno pode seguir dois caminhos durante a graduação: a matemática pura, que é mais teórica, ou a matemática aplicada, mais prática.

“Na matemática pura a motivação principal é estética. Quando se desenvolve uma teoria o foco é em se obter definições e teoremas simples, que englobem casos gerais", ressalta Cabral. "Já a matemática aplicada foca nas aplicações. Além das tradicionais em física e engenharia, hoje em dia, tem sido cada vez mais importante as aplicações em economia, incluindo finanças, e biologia, incluindo bioinformática.”

O pesquisador do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada e editor chefe da Sociedade Brasileira de Matemática, Roberto Imbuzeiro Oliveira, explica que um professor-pesquisador pode trabalhar em universidades ou institutos de pesquisa e divide seu tempo entre aulas de graduação e pós, orientação de alunos e pesquisa científica.

“A grande expansão do sistema de ensino superior brasileiro criou muitas e muitas vagas para professores-pesquisadores. Nas universidades federais, o salário inicial para professores adjuntos, com doutorado em matemática ou área afim, é de cerca de R$ 7,5 mil. No IMPA, o salário inicial para pesquisador com doutorado é de mais ou menos R$ 11 mil”, afirma.

Fonte: site G1.

Prova de matemática do Enem revela abismo entre rede pública e privada.

Diferença entre médias é de mais de 90 pontos. 
Desempenho das particulares é melhor em todas as disciplinas.

A maior diferença entre as notas das escolas públicas e privadas no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) 2010 é em matemática. Levantamento feito pelo G1 com os números divulgados nesta segunda-feira (12) pelo Ministério da Educação mostra que enquanto os colégios da rede particular tiveram média de 600,21 pontos nesta disciplina, os públicos alcançaram 509,67. As médias foram obtidas somando-se as notas das escolas e dividindo o resultado pelo número de instituições envolvidas.

A diferença de 90,54 pontos na nota média das escolas particulares em relação às escolas publicas é a maior entre todas as quatro provas realizadas no exame - além de matemática, os estudantes fizeram provas de ciências da natureza, ciências humanas e linguagens e códigos (português), e mais uma redação. A média das escolas particulares em matemática foi 17,7% maior que das escolas públicas.

A segunda maior diferença aparece em ciências humanas, seguida por português, ciências da natureza e redação (veja quadro abaixo). Em todas, as particulares tiveram melhor desempenho. Os dados são referentes às escolas com mais de 75% de participação no Enem, ou seja, o equivalente a 4.640 unidades. As diferenças, no entanto, também aparecem nos demais grupos com menos participação na avaliação.


O Colégio Vértice, escola privada de São Paulo, obteve a maior média em matemática, com 811,76 pontos. A maior nota em matemática de uma escola pública é da Coluni - Colégio de Aplicação da Universidade Federal de Viçosa (MG), com 784,63, a sexta maior média no geral entre as escolas com mais de 75% de participação dos alunos.

Das cem escolas melhores avaliadas no ranking geral do exame, apenas 13 são públicas. A maioria está ligada à uma universidade, o que eleva a qualidade de ensino e as difere da rede regular estadual.

Pedagoga e professora da Universidade Estadual Paulista (Unesp) Maria Peregrina de Fátima Rotta Furlanetti diz que os resultados refletem as diferenças de realidades entre as escolas públicas e privadas. "A escola particular prepara para o vestibular, oferece laboratórios onde os alunos conseguem vivenciar a matemática e aperfeiçoar o raciocínio lógico."

Fátima afirma que para disparidade entre as redes diminuir é preciso que, entre outras mudanças, o número de estudantes por sala seja reduzido e os docentes tenham melhores condições de trabalho. "O professor não consegue identificar a defasagem em uma sala de aula, não tem um diagnóstico [do aprendizado]. Como fazer isso em uma sala com mais de 45 alunos? O sistema o aniquila."

Fonte: site G1.

ESTADOS UNIDOS TAMBÉM PENAM PARA ENSINAR MATEMÁTICA.

Diante do desempenho cadente dos estudantes, o professor da Universidade de Brown propõe ensino de ciências atrelado à realidade dos alunos.

Está provado por a + b que a matemática é o problema. E não só para os alunos brasileiros. Nos Estados Unidos, o desempenho dos estudantes em testes nacionais e internacionais está em queda quando o tema são números. O assunto preocupa David Mumford, professor emérido do departamento de matemática da Universidade de Brown, em Massachusetts. "Quase ninguém vê razão em aprender matemática porque ela se tornou abstrata", diz o especialista. "Foi por meio das aplicações do dia a dia que a disciplina surgiu, atravessou os séculos e se conectou com as culturas modernas. É preciso resgatar isso." Na percepção do americano, o ensino das demais ciências padece do mesmo mal – e carece da mesma solução. Mumford conversou com nossa reportagem sobre o assunto para a série de reportagens de VEJA sobre o impacto da educação e do ensino das ciências no desenvolvimento do país. Confira a entrevista a seguir.

O senhor defende uma mudança no ensino da matemática. Por quê? Os especialistas que decidem a forma como devemos ensinar matemática na escola são pessoas ligadas a pesquisa e, em geral, não estão em contato com os estudantes que aprendem matemática e absorvem esses conteúdos. Aquelas pessoas pensam a matemática de uma forma muito abstrata, um processo que é pouco natural para a grande maioria. Recentemente, escrevi juntamente com um colega um artigo para o jornal The New York Times a respeito: uma professora nos contatou dizendo que estava ensinando a seus alunos do terceiro ano conceitos de divisão e multiplicação por meio de uma receita de bolo. É desse tipo de ensino que precisamos.

Assim como o Brasil, os Estados Unidos registram queda no rendimento de seus alunos em matemática. O problema é universal? Sim, é um problema de todos. Quase ninguém vê razão em aprender matemática porque ela se tornou abstrata. Vou dar um exemplo concreto. Quando as crianças aprendem aqueles problemas com x e y, elas não conseguem entender que tipo de conexão aquilo tem com a vida delas. Se, por outro lado, o professor toma como ponto de partida um problema financeiro, prático, os alunos entendem que os números e a realidade estão interligados, que existe uma conexão entre eles.

Treinar os professores para essa transição é uma tarefa difícil? Esse é um grande desafio. Hoje, nos Estados Unidos, existe um grande esforço para aumentar a qualificação do professor de matemática. Mas essa é uma questão difícil, porque temos um quadro muito heterogêneo. Conheço professores que adoram a ideia de uma matemática mais concreta nas escolas e outros que têm aversão a essa ideia.

Qual seria o resultado dessa transformação que o senhor propõe? As pessoas parariam de olhar para a matemática como se ela fosse um alienígena. Elas estarão mais aptas a lidar com questões do século XXI. Os computadores são um exemplo disso. Para a maioria das pessoas, o computador é apenas uma caixa preta que funciona de forma mágica. Acredito que todo e qualquer estudante do ensino médio deveria aprender na escola a desenvolver programas de computador, por mais simples que sejam. Só assim, poderão compreender de forma elementar o que se passa em um computador e como as coisas não são assim tão misteriosas.

Em seu artigo no New York Times, o senhor fala de alguns conteúdos matemáticos que são desnecessários na escola. O senhor pode dar exemplos? Os polinômios, por exemplo, não têm utilidade nenhuma para 99,9% da população. Ensinar isso na escola é uma perda de tempo sem tamanho. Ao invés disso, deveríamos ensinar engenharia básica e finanças, por exemplo. Digo isso para chocar as pessoas e para que elas percebam que existem outros caminhos além daqueles apresentados pela escola. Foi por meio das aplicações do dia a dia que a matemática surgiu no passado, atravessou os séculos e se conectou com as culturas modernas. É preciso resgatar isso.

O senhor acredita que isso também acontece nas demais disciplinas de ciências? Sim. Há alguns anos, as escolas costumavam dissecar animais durante aulas de biologia. Mas em um determinado ponto, especialistas decidiram que aquilo era antigo e ultrapassado e que as crianças deveriam aprender sobre genética e DNA. Mas elas não estavam preparadas para essa mudança, porque quando elas deixaram de dissecar animais perderam o elo mais concreto daquela biologia e passaram a trabalhar com abstrações. Elas passaram a ser obrigadas a aceitar ideias que não tinham ligação com a realidade concreta. É o mesmo que acontece com a matemática.

Quão difícil é empreender a mudança no sentido que o senhor propõe? Não tenho ilusão de que isso vá acontecer da noite para o dia. O que desejo é dar início a discussões e fazer com que todos pensem sobre esse assunto. E assim espero que dentro de dez ou vinte anos alguma mudança possa ser vista.

FONTE: veja.abril.com.br 

QUESTÃO DESAFIO 02!

Bom dia!

Achei essa questão no volume 31 da revista Eureka. Achei interessante e por isso resolvi postá-la para vocês:

Caso resolvê-la, mande a solução via comentários.

Boa sorte!

CIRCUNFERÊNCIA, CÔNICAS E GEOMETRIA ANALÍTICA.

Neste artigo abordaremos a definição e as equações analíticas da circunferência, da elipse e da hipérbole, bem como algumas aplicações dos mesmos em exercícios.

1.0   DEFINIÇÃO GERAL.

Em geometria, as cônicas são as curvas geradas na intersecção de um plano que atravessa um cone (daí o nome). Numa superfície em forma de cone, existem quatro tipos de intersecção que podem ser obtidos por esse processo e que resultam na:

1) Elipse: a cônica obtida através da interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone obliquamente à base do mesmo;

2) Parábola: é a cônica também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone e também a circunferência da base;

3) Hipérbole: é a cônica definida na interseção de um plano que penetra um cone paralelo ao seu eixo;

4) Circunferência, que é obtida através da intersecção de um plano que seja paralelo à base do cone.

fig.01: as cônicas; em A temos a parábola, em B na parte de baixo temos  a  circunferência e na parte de cima  a elipse e em C temos a hipérbole. Fonte: wikipédia.

2.0   A CIRCUNFERÊNCIA.

2.1   DEFINIÇÃO E EQUAÇÕES.

Geometricamente, a circunferência é o conjunto de todos os pontos que estão a uma igual distância de um ponto central, sendo que essa distância é chamada de raio, que aqui designaremos pela letra 'r'; analiticamente falando, a circunferência é o lugar geométrico dos pontos que tem distância fixa de um determinado ponto P:

Sendo assim, se considerarmos um plano xOy, e um ponto C (Xo, Yo) que será o centro da circunferência, basta considerarmos um ponto genérico P (X, Y) e usarmos a definição dada para encontrarmos a equação analítica da circunferência:

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

 (*)

A equação encontrada em (*) é a chamada equação reduzida da circunferência. Se resolvermos os quadrados dos binômios e passarmos 'r' para o segundo membro, teremos:

 (**)

Essa equação encontrada em (**) é a conhecida como equação geral da circunferência.
Feita essa definição, vamos fazer agora uma revisão útil para solucionarmos determinados problemas envolvendo circunferências.


2.2   POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA


2.2.1    INTERNO OU INTERIOR


Significa que a distância do ponto considerado até o centro da circunferência é menor que o raio dessa circunferência, ou seja, se A(X1, Y1) é um ponto interno da circunferência, e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência, temos que:

2.2.2    EXTERNO OU EXTERIOR


Significa que a distância entre o ponto considerado até o centro da circunferência é maior que o raio dessa circunferência, e, do mesmo modo, se A(X1, Y1) é o ponto considerado e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência:

2.2.3   PERTENCENTE À CIRCUNFERÊNCIA

É quando o ponto fica exatamente sobre a circunferência, ou seja, a sua distância até o centro é igual ao raio dessa circunferência; sendo assim,  se A(X1, Y1) é o ponto considerado e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência:

Abaixo temos um esquema das três situações colocadas acima esboçadas em um gráfico:

fig. 02:  o ponto vermelho é um ponto exterior, o ponto azul é um ponto interior e o ponto verde é um ponto pertencente à circunferência

2.3   RETAS E CIRCUNFERÊNCIA


Iremos ver agora as posições relativas entre uma reta e uma circunferência, lembrando que a distância entre uma reta de equação AX + BY + C = 0 e um ponto P(Xo, Yo) é dada por:

2.3.1  EXTERNA


É a reta que não cruza com a circunferência em nenhum ponto, ou seja, ela não tem pontos em comum com a circunferência; sendo assim, a distância dessa reta até a circunferência, em outras palavras, se 'd' é a distância do centro dessa circunferência até a reta dada e 'r' é seu raio, temos que:
                                                      d > r

2.3.2    SECANTE


É a reta que cruza, secciona a circunferência, sendo assim, a reta secante tem dois pontos em comum com a circunferência, portanto, a distância do seu centro até a reta tem que ser menor que seu raio:
                                                      d < r
Obs: da geometria plana, a reta suporte que contém o raio da circunferência dada e que passa pelo ponto médio determinado pela corda determinada pela reta secante é perpendicular a essa reta secante.


2.3.3   TANGENTE


É  a reta que toca a circunferência em apenas um ponto, tendo como consequência que essa reta terá apenas um ponto em comum com essa circunferência, e logo, a distância da reta até seu centro é igual ao próprio raio da circunferência:
                                                      d = r
Obs: da geometria plana, qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular à reta suporte que contém o raio da mesma e que passa pelo ponto de tangência.


Abaixo temos uma visualização geométrica das três posições relativas entre a reta e a circunferência:

fig. 03: a reta vermelha é externa, a reta azul é uma secante e a reta verde é uma tangente.

2.3.4    DETERMINAÇÃO DOS PONTOS EM COMUM ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA


Para determinarmos os pontos em comum entre uma reta de equação PX + QY + K = 0 e uma circunferência de equação X² + Y² + AX + BY + C = 0, é só resolver o sistema de equações formado entre elas, que é de 2º grau, observando que:

• r é secante: Δ > 0 ;

• r é tangente: Δ = 0 ;

• r é exterior: Δ < 0 .

2.4 DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Para essa parte, denotaremos por 'C1' e 'C2' os centros das duas circunferências, 'd' a distância entre seus centros, e 'R1' e 'R2' os seus raios


2.4.1   CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES


É quando duas circunferências possuem dois pontos em comum, ou seja, possuem dois pontos em comum:

fig. 03

Para duas circunferências serem secantes, é necessário que |R1 - R2| < d < R1 + R2, e veja também que o segmento de reta AB é perpendicular à reta suporte que contém a distância entre C1 e C2.


2.4.2   CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERNAS


É quando duas circunferências possuem um ponto em comum e estão externas uma em relação a outra:

fig. 04

E para a situação acima acontecer, deve-se ter d = R1 + R2.


2.4.3   CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERNAS


Acontece quando duas circunferências tem um ponto em comum e são internas uma em relação a outra:

fig. 05

Para tal situação acontecer, devemos ter d = |R1 - R2|


2.4.4  CIRCUNFERÊNCIAS EXTERNAS


É a situação na qual duas circunferências não tem pontos em comum:

fig. 06

Veja que d > R1 + R2.


2.4.5   CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS


É a situação na qual duas circunferências não tem pontos em comum e uma localiza-se internamente a outra:

fig. 07

Para isso, devemos ter d < |R1 - R2|.


2.4.6   CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS.


É um caso especial de circunferências internas no qual d = 0, ou seja, as circunferências tem o centro em comum:

fig. 08

3.0   A ELIPSE

A elipse é o nome dado ao lugar geométrico dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de qualquer ponto desse lugar geométrico a dois pontos fixos, chamados focos, é constante e igual a 2a.

Abaixo listaremos seus principais elementos:

fig. 08

• Centro: o ponto (Xo, Yo)
• Eixo maior: o segmento AD = 2a
• Eixo menor: o segmento BC = 2b
• Distância focal: a distância entre os focos Fi e F2 = 2c
• Relação notável: a² = b² + c²
• Excentricidade: a razão entre 'c' e 'a' -> e = c/a. Se 'e' tende a zero, a elipse tende a ser menos achatada e se parecerá com uma circunferência; se 'e' tende a um, a elipse será bem achatada. 

Agora, vamos achar a equação de uma elipse com centro na origem O(0,0) e eixo maior paralelo ao eixo das abscissas:

fig. 09

Se a elipse tiver centro no ponto C(Xo, Yo), a equação será:

OBS. 01: Repare que se a = b, caímos na equação de uma circunferência:(X – Xo)² + (Y – Yo)² = r²

assim, concluímos que toda circunferência é um caso particular de uma elipse.
OBS. 02: Se a elipse tiver seu eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas, sua equação será:

Dica sobre elipses!!!


• Para identificar se o eixo focal da elipse é paralelo ao eixo Ox ou Oy, basta olhar para a equação. Se
a²  estiver embaixo do termo x, ela terá seu eixo maior paralelo ao eixo Ox. Se o a² estiver embaixo do termo y, a elipse tem eixo maior paralelo ao eixo Oy.

4.0   HIPÉRBOLE.

4.1   DEFINIÇÃO:

Dados dois pontos distintos F1 e F2, tais que a distância entre eles seja constante e igual a 2c, e uma certa distância 2a, tal que 2a < 2c. A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P de um plano tais que |d(PF1) - d(PF2)| = 2a:

fig. 10

4.2   ELEMENTOS:

fig. 11

• Centro: ponto médio de F1 e F2;
• Focos: F1 e F2;
• Eixo real: A1A2;
• Pontos de intersecção de F1F2 com A1A2: A1 e A2;
• Segmento focal: F1F2
• Eixo imaginário: B1B2, sendo que este é perpendicular a  A1A2
• Distância focal: d(F1F2) = 2a
• Eixo transverso ou eixo imaginário: d(B1B2) = 2b
• Semi eixo real: d(CA1) = a
• Semi eixo imaginário: d(CB1) = b
• Excentricidade: é a razão entre 'c' e 'a', e = c/a
• Relação notável: c² = a² + b²

OBS:

• Dizemos que uma hipérbole é equilátera se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não-focal, isto é, a = b.
• Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não-focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas. Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais, elas têm o mesmo centro, mesmas assíntotas e os focos a uma mesma distância do centro.

4.3   EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE.


4.3.1   EIXO REAL HORIZONTAL.

fig. 12

A equação reduzida da hipérbole nesse caso é dada por:

Onde (Xo, Yo) é o centro da hipérbole e 'a' e 'b' são respectivamente os semi-eixos real e imaginários da hipérbole.


4.3.2    EIXO REAL VERTICAL

fig. 13

Nessa situação, a hipérbole terá a seguinte equação:

4.4    ASSINTOTAS DA HIPÉRBOLE.


Entendemos como assintotas da hipérbole as retas que passam pelo centro da hipérbole e acompanham seus ramos, sem jamais tocá-los, ou seja, a hipérbole e assintotas não tem pontos em comum:

fig.14: as assíntotas da hipérbole

Numa hipérbole de eixo horizontal. o coeficiente angular das assíntotas são dadas por m = +/- b/a, e na de eixo vertical, as declividades são dadas por m = +/- a/b, e suas equações são dadas por:

• Eixo vertical: Y - Yo = +/-b/a.(X - Xo)
• Eixo vertical: Y - Yo = +/-.a/b.(X - Xo)

5.0    A PARÁBOLA

5.1   DEFINIÇÃO:

Desde cedo, os estudantes tem contato com essa cônica ao estudarem por exemplo, as funções de segundo grau, cujo gráfico é uma parábola. Todavia, a geometria analítica trabalha com parábolas cujo gráfico não é uma função. Consideremos então uma reta 'r' e um ponto 'F', fora de 'r'; a parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano tais que:
                                               d(P,r) = d(P,F)

fig. 15: a parábola e seus elementos.

5.2    ELEMENTOS:

• Foco: o ponto F;
• Diretriz: a reta r;
• Vértice: o ponto V;
• Eixo de simetria: a reta que passa por V e é perpendicular à diretriz;
• Parâmetro: a distância do foco até a reta diretriz.

5.3    EQUAÇÕES:

Agora, iremos postar as quatro equações básicas da parábola, bem como a situação em que cada uma ocorre. Não faremos a dedução da equação da parábola em nenhum casa, mas caso queira fazer isso, use a definição dada em 5.1.

5.3.1:

fig. 16

Neste primeiro caso, a diretriz é paralela com o eixo das abscissas e a concavidade da parábola é para cima, assim, sua equação é dada por:

                                         (X – Xv)² = 2p.(Y – Yv)

5.3.2:

fig. 17

Neste segundo caso, a diretriz é paralela com o eixo das abscissas e a concavidade da parábola é para baixo, assim, sua equação é dada por:

                                         (X – Xv)² = - 2p.(Y – Yv)

5.3.3:

fig. 18

Neste terceiro caso, a diretriz é paralela com o eixo das ordenadas e a concavidade da parábola é para a direita, assim, sua equação é dada por:

                                         (Y – Yv)² = 2p.(X – Xv)

5.3.4:

fig. 19

Neste quarto caso, a diretriz é paralela com o eixo das ordenadas e a concavidade da parábola é para a direita, assim, sua equação é dada por:

                                         (Y – Yv)² = - 2p.(X – Xv)

5.4 APLICAÇÕES PRÁTICAS:

Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos equipamentos e sistemas de vital importância para nossa sociedade. Dentre eles, podemos destacar:

• Antenas parabólicas e Radares: é comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas Parabólicas, que captam ondas eletromagnéticas que são enviadas por satélites em órbita ao redor da terra. Isto somente é possível devido à propriedade da parábola de refletir o conjunto de raios recebidos em um único ponto (o foco da parábola). Neste ponto encontra-se posicionado o receptor de ondas, que enviará o sinal recebido para um conversor que as decodificará e enviará para o receptor de televisão. Os aparelhos de radar operam de forma semelhante às antenas parabólicas, recebendo o eco de pulsos eletromagnéticos.
• Faróis de veículos: os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a luz da lâmpada localizada no foco se propague em raios paralelos ao eixo da parábola formando o facho. As lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta.
• Lançamento de projéteis: quando lançamos um objeto (míssil, pedra, flecha, etc.), desprezando a resistência do ar, este descreve uma curva parabólica. Por que isso? Devido a combinação dos movimentos horizontal e vertical, todo objeto arremessado para cima tem a trajetória vista do solo em formato de parábola.

6.0   REFERÊNCIAS:

• Matemática: construção e significado/obra coletiva concebida e desenvolvida pela Editora Moderna; editora responsável: Juliane Matsubara Barroso - São Paulo, 2008.
• Sousa, Maria Helena Soares de. Matemática 2° grau, São Paulo, Scipione, 2001.
• Wikipédia, a enciclopédia livre: http://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal.

Baixe diversos exercícios sobre circunferências, elipses, hipérboles e parábolas. Aí vai o link:

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